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1、《数学分析》教案第八5章不定积分教学要求：1.积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。3.有理函数的不定
2、积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；教学时数：18学时-19-《数学分析》教案§1不定积分概念与基本公式（4学时） 教学要求：积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定
3、积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。教学重点：深刻理解不定积分的概念。一、新课引入：微分问题的反问题，运算的反运算.二、讲授新课：（一）不定积分的定义:1.原函数：例1填空:;(;;;;.定义.注意是的一个原函数.原函数问题的基本内容：存在性，个数，求法.原函数的个数:Th若是在区间上的一个原函数,则对，都是在区间上的原函数；若也是在区间上的原函数，则必有.(证)-19-《数学分析》教案可见，若有原函数，则的全体原函数所成集合为{│Ｒ}.原函数的存在性:连续函数必有原函数.(下章给出证明).可见,初等函数在其定义域内有原函数;若在区间上有原函数,则在区间上有介值性.例2.已
4、知为的一个原函数,=5.求. 2.不定积分——原函数族：定义；不定积分的记法；几何意义.例3;. （二）不定积分的基本性质:以下设和有原函数.⑴.(先积分后求导,形式不变应记牢！).⑵.(先求导后积分,多个常数需当心！)⑶时，（被积函数乘系数，积分运算往外挪！）⑷由⑶、⑷可见,不定积分是线性运算,即对,有-19-《数学分析》教案(当时,上式右端应理解为任意常数.)例4.求.(=2). （三）.不定积分基本公式:基本积分表.[1]P180—公式1—14.例5.（四）．利用初等化简计算不定积分: 例6.求.例7.例8.例9.例10⑴;⑵例11.例12.三、小结§2换元积分法与分部积分法（10学
5、时）-19-《数学分析》教案教学要求：换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。教学重点：熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；一、新课引入：由直接积分的局限性引入二、讲授新课：（一）.第一类换元法——凑微分法：由引出凑微公式.Th1若连续可导,则该定理即为：
6、若函数能分解为-19-《数学分析》教案就有.例1.例2.例3常见微分凑法：凑法1例4例5例6例7由例4—7可见，常可用初等化简把被积函数化为型，然后用凑法1.例8⑴.⑵-19-《数学分析》教案. 凑法2.特别地,有.和.例9.例10例11.例12=.凑法3例13⑴⑵例14-19-《数学分析》教案例15.例16凑法4.例17 凑法5例18 凑法6.例19 .其他凑法举例:例20 .例21 例22 -19-《数学分析》教案.例23.例24.例25例26.三、小结（二）第二类换元法——拆微法： 从积分出发，从两个方向用凑微法计算，即===引出拆微原理.Th2设是单调的可微函数,并且又具有原函数.
7、则有换元公式(证) -19-《数学分析》教案常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换,Euler代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换.1.三角代换:⑴正弦代换:正弦代换简称为“弦换”.是针对型如的根式施行的,目的是去掉根号.方法是:令,则例27 解法一直接积分;解法二用弦换.例28 . 例29 .⑵正切代换:正切代换简称为“切换”.是针对型如的根式施行的,目的是去掉根号.方法是:利用三角公式即令.
