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《概率论与数理统计-第七章 参数估计.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、参数估计第七章引言上一讲，我们介绍了总体、样本、简单随机样本、统计量和抽样分布的概念，介绍了统计中常用的三大分布，给出了几个重要的抽样分布定理.它们是进一步学习统计推断的基础.第一讲点估计现在我们来介绍一类重要的统计推断问题参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.参数估计估计废品率估计新生儿的体重估计湖中鱼数……估计降雨量在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数.这类问题称为参数估计.参数估计问题的一般提法X1,X2,…,Xn要依据该样本对参数作出估计，或估计的某个已知函数.现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体，
2、总体的分布函数向量).为F(x,)，其中为未知参数(可以是参数估计点估计区间估计矩估计极大似然估计（假定身高服从正态分布）设这5个数是:1.651.671.681.781.69估计为1.68，这是点估计.这是区间估计.估计在区间[1.57,1.84]内，假如我们要估计某队男生的平均身高.现从该总体选取容量为5的样本，我们的任务是要根据选出的样本（5个数）求出总体均值的估计.而全部信息就由这5个数组成.一、点估计概念及讨论的问题例1已知某地区新生婴儿的体重X~随机抽查100个婴儿…得100个体重数据10,7,6,6.5,5,5.2,…呢?据此,我们应如何估计和而全部信息就由这10
3、0个数组成.为估计,我们需要构造出适当的样本的函数T(X1,X2,…Xn)，每当有了样本，就代入该函数中算出一个值，用来作为的估计值.把样本值代入T(X1,X2,…Xn)中，得到的一个点估计值.T(X1,X2,…Xn)称为参数的点估计量，请注意，被估计的参数是一个未知常数，而估计量T(X1,X2,…Xn)是一个随机变量，是样本的函数,当样本取定后，它是个已知的数值,这个数常称为的估计值.使用什么样的统计量去估计？可以用样本均值;也可以用样本中位数;还可以用别的统计量.问题是:我们知道,服从正态分布由大数定律,自然想到把样本体重的平均值作为总体平均体重的一个估计.类似地，用样本体
4、重的方差.用样本体重的均值样本体重的平均值二、寻求估计量的方法1.矩估计法2.极大似然法3.最小二乘法4.贝叶斯方法……这里我们主要介绍前面两种方法.1.矩估计法其基本思想是用样本矩估计总体矩.理论依据:它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法.是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的.大数定律记总体k阶原点矩为样本k阶原点矩为用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就称为矩估计法.记总体k阶中心矩为样本k阶中心矩为设总体的分布函数中含有k个未知参数都是这k个参数的函数,记为：,那么它的前k阶矩一般i=1,2,…,k从这k个方程中解出j=1,2,…,k那么用诸的估计量ai分别
5、代替上式中的诸,即可得诸的矩估计量：j=1,2,…,k矩估计的一般步骤:求出总体X的前m阶原点矩3．用样本原点矩代替总体矩即得未知参数的矩估计2.解上面方程组得：解:由矩法,样本矩总体矩从中解得的矩估计.即为数学期望是一阶原点矩例2设总体X的概率密度为是未知参数,其中X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数的矩估计.解:由密度函数知例3设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本其中>0,求的矩估计.具有均值为的指数分布故E(X-)=D(X-)=即E(X)=D(X)=解得令用样本矩估计总体矩即E(X)=D(X)=矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布.缺点是，当总
6、体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息.一般场合下,矩估计量不具有唯一性.其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性.2.极大似然估计法是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的,GaussFisher然而，这个方法常归功于英国统计学家费歇.费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.极大似然估计法的基本思想先看一个简单例子：一只野兔从前方窜过.是谁打中的呢？某位同学与一位猎人一起外出打猎.如果要你推测，你会如何想呢?只听一声枪响，野兔应声倒下.下面我们再看一个例子,进一步
7、体会极大似然法的基本思想.你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率.看来这一枪是猎人射中的.这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想.例4设X~B(1,p),p未知.设想我们事先知道p只有两种可能:问:应如何估计p?p=0.7或p=0.3如今重复试验3次,得结果:0,0,0由概率论的知识,3次试验中出现“1”的次数k=0,1,2,3将计算结果列表如下：应如何估计p?p=0.7或p=0.3k=0,1,2,3p值P(Y=0)P(Y=1)P(Y=2)P(Y=3)0
