【素材】111平方根与立方根.doc

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1、11.1平方根与立方根重、难点研习　　研习点1：平方根概念　　如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(二次方根)．　　用数学语言表达即为：若x2=a，则x叫做a的平方根．　　求一个数a的平方根的运算，叫做开平方的运算．【归纳整理】1.平方根的表示方法　　一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“-”表示，a的平方根合起来记作，其中读作“二次根号”，读作“二次根号下a”．根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.　　2.平方运算与开平方运算互为逆运算．根据这种关系，我们可以通过

2、平方运算来求一个数的平方根．与其他运算法则不同之处在于只能对非负数进行运算.　　典例1　下列各数的平方根：　　（1）81；　（2）；　（3）；　（4）0.49.　　【研析】(1)∵(±9)2=81，　　　∴81的平方根为±9．即：；　　（2），　　　的平方根是，即；　　（3），　　　的平方根是，即；　　(4)∵(±0.7)2=0.49，　　　∴0.49的平方根为±0.7．　　.　　研习点2：平方根的性质　　1．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．　　2．0有一个平方根，它是0本身．　　3．负数没有平方根．　　【探索发现】数a是否有平方根，应根据a的取值而定，一般地，①当a是正数时，a

3、有两个平方根，它们是互为相反数；②当a是0时，只有一个平方根是它本身；而当a为负数时，则没有平方根，所以判断一个数a是否有平方根一定要注意a的隐含条件，即a一定是非负数．　　典例2　求下列各式中x的值：　　（1）；　　（2）.　　【研析】这里要求灵活运用开平方的知识来解方程，如果把方程左边展开，则走入误区，必须运用开平方的知识求解.　　解：（1），，　　　，则　　（2），　　　，则　　本题不要将原方程利用乘法公式变形展开，把括号里的看作整体处理，因此问题就转化为求平方根问题.但要注意一个正数的平方根有两个.　　研习点3：算术平方根　　0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是

4、0，即　　【辨析比较】算术平方根的符号“”不仅是一个运算符号，如a≥0时，表示对非负数a进行开平方运算，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a的正的平方根．　　典例3　求下列各数的算术平方根：【研析】(1)因为102=100，所以100的算术平方根是10，即　　　　　　　　　　(4)因为(0.7)2=0.49，所以0.49的算术平方根是0.7，即　　　　研习点4：平方根与算术平方根的区别及联系　　区别：　　（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根”.　　（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有

5、一个.　　（3）表示方法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为.　　（4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根则一正一负，两数互为相反数.　　联系：　　（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种.　　（2）存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有.　　（3）0的平方根、算术平方根均为0.　　【辨析比较】平方根的符号有三种形式：±，，－，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根.要特别注意.　　典例4　填空：(1)1的平方根是____；立方根为____；算术平方根为____．　　(2)

6、平方根是它本身的数是____．　　(3)立方根是其本身的数是____．　　(4)算术平方根是其本身的数是________．　　(5)的立方根为________.　　(6)的平方根为________.　　(7)的立方根为________.　　　解：(1)±1；1；1．　　(2)0．(此题学生容易把1也算进去，注意纠正他们的错误．)　　(3)±1和0．(由此题，再复习一道立方根的性质．)　　(4)0，1．(此题有学生可能会忘掉0．)　　(5)-2（此题学生易得出-4的答案，应引导学生将翻译为-8，在求立方根，也有学生将看成得到，讲解时注意）　　(6)（此题首先让学生把计算出来，再求平方根，

7、而且平方根有两个）　　(7)-2．　　研习点5：立方根　　1.立方根的概念：　　如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根．(也称数a的三次方根)　　用数学式表示为：　　若x3=a，则x叫做a的立方根，或称x叫做a的三次方根．　　2.求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方运算与立方运算互为逆运算．　　3．立方根的表示方法：　　类似于平方根德表示方法，数a的立方根我们用符号来表示.读作“三次根号下a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数.