矢量运算方法法则.ppt

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1、第1章矢量分析一、矢量和标量的定义二、矢量的运算法则三、矢量微分元：线元，面元，体元四、标量场的梯度六、矢量场的旋度五、矢量场的散度七、重要的场论公式一、矢量和标量的定义1.标量：只有大小，没有方向的物理量。矢量表示为：所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。其中：为矢量的模，表示该矢量的大小。为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。如:力、速度、电场等如：温度T、长度L等例1：在直角坐标系中，x方向的大小为6的矢量如何表示？图示法：力的图示法：二、矢量的运算法则1.加法:矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。a.满足交换

2、律：b.满足结合律：三个方向的单位矢量用表示。根据矢量加法运算：所以：在直角坐标系下的矢量表示:其中：矢量：模的计算：单位矢量：方向角与方向余弦：在直角坐标系中三个矢量加法运算：2.减法：换成加法运算逆矢量：和的模相等，方向相反，互为逆矢量。在直角坐标系中两矢量的减法运算：推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。3.乘法：（1）标量与矢量的乘积：方向不变，大小为

3、k

4、倍方向相反，大小为

5、k

6、倍（2）矢量与矢量乘积分两种定义a.标量积（点积）：两矢量的点积含义：一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。在直角坐标系中，已知三个坐标轴

7、是相互正交的，即有两矢量点积：结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论1：满足交换律推论2：满足分配律推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。推论1：不服从交换律：推论2：服从分配律：推论3：不服从结合律：推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。b.矢量积（叉积）：含义：两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：两矢量的叉积又可表示为：xyzo（3）三重积：三个矢量相乘有以下几种形式：矢量，标量与矢量相乘。标量，标量三重积。矢量，矢量三重积

8、。a.标量三重积法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。定义：含义：标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积。注意：先后轮换次序。推论：三个非零矢量共面的条件。在直角坐标系中：b.矢量三重积：例2：求：中的标量a、b、c。解：则：设例3：已知求：确定垂直于、所在平面的单位矢量。解：已知所得矢量垂直于、所在平面。已知A点和B点对于原点的位置矢量为和，求：通过A点和B点的直线方程。例4：其中：k为任意实数。xyzCAB解：在通过A点和B点的直线方程上，任取一点C，对于原点的位置矢量为，则三、矢量微分元：线元、面元、体元例：其中：和称为微分元。1.直角坐标系在直角坐标系中，坐标变

9、量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：2.圆柱坐标系在圆柱坐标系中，坐标变量为，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：3.球坐标系在球坐标系中，坐标变量为，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：a.在直角坐标系中，x,y,z均为长度量，其拉梅系数均为1，即：b.在柱坐标系中，坐标变量为,其中为角度，其对应的线元，可见拉梅系数为：在球坐标系中，坐标变量为，其中均为角度，其拉梅系数为：注意：在正交曲线坐标系中，其坐标变量不一定都是长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数，就可正确写出其线元、面元和体元。体元：线元：面元：正交曲线

10、坐标系：四、标量场的梯度1.标量场的等值面可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不相交的。以温度场为例：热源等温面b.梯度定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，其方向为该点所在等值面的法线方向。数学表达式：2.标量场的梯度a.方向导数：空间变化率，称为方向导数。为最大的方向导数。标量场的场函数为计算：在直角坐标系中：所以：梯度也可表示：在柱坐标系中：在球坐标系中：在任意正交曲线坐标系中：在不同的坐标系中，梯度的计算公式：在直角坐标系中：五、矢量场的散度1.矢线（场线）：在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。2.通

11、量：定义：如果在该矢量场中取一曲面S，通过该曲面的矢线量称为通量。表达式：若曲面为闭合曲面：+-讨论：a.如果闭合曲面上的总通量说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。b.如果闭合曲面上的总通量说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。c.如果闭合曲面上的总通量说明穿入的通量等于穿出的通量。3.散度：a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。b.表达式：c.散度的计算：在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该