最优消费和投资离散时间分析.ppt

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1、第8章最优消费和投资：离散时间基本分析框架典型消费者个人将生存一段时期[0,T]，他会有一个大于0的初始财富或者说资源禀赋W(0)；在生存过程中，他会获得一些非资本（non-capital）收入(t)（例如工资）；在生存的每一天中，他必须决定把可供支配的财富（资源），用于当前消费C和投资积累I上（投资将提供下一时刻的资本收入）；在最后时刻留下一部分遗产W(T)给后人。这时，两个基本选择问题，即消费多少（也就是投资多少）和如何投资（资产组合），必须同时被决定。消费者这种不断的选择行为的目的就是使得他

2、们终身效用最大化。目标函数其中T是投资者的寿命；C(t)是投资者年龄为t时选择的消费数量；W(t)是t时刻的财富（或者遗产）；Et(.)t是基于t时刻所有已经揭示出的信息的条件期望算子。Ut[C(t),t]是效用函数，在整个定义域内，它被假定是单调递增和凹的；U2[W（T），T]是基于期末财富或者说遗产的效用函数（bequestvaluationfunction），它也是单调递增和凹的。约束条件其中就是非资本收入，广义上I泛指各种投资，但这里实际上仅仅包括对市场上可交易的有价证券的投资。经济体系中

3、的风险，就源自于非资本收入和投资机会集合（investmentopportunityset）（也即资本收入）的不确定性。最优消费/投资决策：离散时间所谓随机最优控制，就是试图在一个由随机因素驱动的成长路径上，通过采用适当的策略来最优化目标函数。这里的消费多少和如何投资，就是由投资者决定的控制变量（controlledvariable）或者说决策（decision），通过一系列遵循某种原则的最优的决策，即最优策略（policy），个人可以得到最大的效用满足。这里的原则，指的就是贝尔曼（BellmanR

4、.）最优化原则（principleofoptimality）：“一个最优策略有这样的特征：无论初始状态和初始决策是什么，余下的决策在考虑到第一个决策导致的状态的影响下，都必须是最优的策略。”简单地说，这就意味着任何最优过程的最后一段过程必定是最优的。这一原则将在后面的分析中一再的出现。简化的例子假定：（1）典型个人生存两个时期，他可以在两个时点上，即t=0、1上做决策（t=3时，他就死亡了）；他被赋予一定量的初始资源W(0)>0。（2）理想化的资本市场上存在两种资产。一种是无风险的现金或者债券，它的

5、价格在任何时刻都没有变化，始终为1；另一种是有风险的股票，它的价格过程假定由以下二项树描绘股票价格运动的二项树模型简单地说，它表示在每一时点上，股票价格要么以4/9的概率上涨一倍，要么以（1-4/9）的概率下跌一半。用w(0)和w(1)表示该投资者在0、1时刻上，投资于风险资产（股票）上的财富分额。（3）投资者的非资本收入为0，效用函数具有以下特定形式：U(x)=（4）为了简化分析，假定投资者也不进行任何消费，这样最优决策的惟一目标就是最大化他来自最终财富的期望效用。目前的任务就是找到最优的投资决策

6、变量（最优控制）w(0)和w(1)，使以上最优化问题得以解决。模型求解“向前”推导的方法：即从t=0时刻开始，事先决定一个策略w(0)，但它是不是最优还不清楚。根据w(0)，我们仅仅能够知道t=1时刻的期望财富水平的函数表达式，但是最大化这个函数得到的“最优的”w(0)，并不一定是最优决策过程[w(0),w(1)]的必然组成部分，除非可以明确地知道在所有不同情况状态下的w(1)，并且它是惟一的。因此向前推导的方法是行不通的。逆向归纳法：从倒数第一期，即T-1期开始。这就是说，我们必须获得t=1时期，

7、股票价格在p=200或者p=50两种情况下的最优投资比例，这是一个单期静态优化问题。一旦获得了t=1时的相应结果w(1)和W(1)，就可以按照同样的结构，进一步推测t=0时刻的最优投资比例，从而一层层地逐步解决了问题。第一步：t=1时刻假定此时的财富W(1)为任意一正数（它是由上一期t=0时的最优决策所产生的）。投资到股票上的财富比例为w(1)，则投向无风险资产上的就是1-w(1)。我们来计算最后的t=2时刻，积累的财富的期望效用是多少。先考虑当股票价格p=200时的情形，根据二项树模型：为了找到最

8、优投资比例w(1)，只要对f[w(1)]求导，并令一阶导数等于0就可以了，容易得到：再考察当股票价格p=50时的情形，我们发现仍旧可以使用上式。因为依然表示股票价格上涨一倍的情况下，投资在两种资产上，给投资者带来的期末财富的期望效用；而则是投资机会相对较差时，期末财富的效用水平。所以最优解还是w(1)=13/19，因此这个最优投资比例决策独立于1时刻股票价格和财富的绝对水平。第二步：t=0时刻根据上面的推理，我们只要知道1时刻的财富水平W(1)，就可以知道最终财富的期