2018年高考数学(浙江省专用)复习专题测试：第八课时 立体几何 §8.5 空间向量及其应用.ppt

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1、第八章立体几何§8.5空间向量及其应用高考数学(浙江专用)考点一　空间角1.(2017浙江,9,4分)如图,已知正四面体D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P,Q,R分别为AB,BC,CA上的点,AP=PB,==2.分别记二面角D-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P的平面角为α,β,γ,则(    　)A.γ<α<βB.α<γ<βC.α<β<γD.β<γ<α五年高考答案B　本题考查正四面体的性质,二面角的定义,解三角形,利用空间向量求平面的法向量及计算并比较二面角的大小,考查推理运算能力和空间想象能力.解法一:连接CP,作RO∥AB,交CP于点O,则O为

2、等边△ABC的中心,且点D在平面ABC内的射影为O,连接DO.以O为坐标原点,OP所在直线为x轴,RO所在直线为y轴,OD所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.设正四面体的棱长为3,则OP=××3=,OR=××3=1,点Q到x轴的距离为×PB=×=,点Q到y轴的距离为.故有P,Q,R(0,-1,0),D(0,0,).此时,点O在△PQR内部,故α,β,γ均为锐角.取平面PQR的一个法向量为n=(0,0,1).设平面DPR的法向量为m1=(x1,y1,z1),∵=,=(0,1,),∴得取z1=1,得m1=(2,-,1).∴cosα=

3、cos

4、

5、==.设平面DPQ的法向量为m2=(x2,y2,z2),∵=,=,∴得取x2=2,得m2=(2,4,1).∴cosβ=

6、cos

7、==.设平面DQR的法向量为m3=(x3,y3,z3),∵=,=(0,1,),∴得取z3=1,得m3=(-3,-,1).∴cosγ=

8、cos

9、==.∵cosβγ>α.故选B.解法二:设点D在平面ABC上的射影为O,则O为正△ABC的中心,设O到RP,PQ,QR的距离分别为d1,d2,d3,则tanα=,tanβ=,tanγ=,故只要比较d1,d2,d3的大小即

10、可.以O为原点,RO所在直线为x轴,PC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图.不妨设正四面体的棱长为3,则有P,Q,R(-1,0).从而直线PR的方程为x+y+1=0,∴d1==.直线PQ的方程为2x-y-=0,∴d2=.直线RQ的方程为x-y+1=0,∴d3=.又d2tanγ>tanα,而α,β,γ均为锐角,∴β>γ>α.故选B.2.(2017课标全国Ⅱ理,10,5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.答案C　本题

11、考查直棱柱的性质和异面直线所成的角.将直三棱柱ABC-A1B1C1补形成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图),连接AD1,B1D1,则AD1∥BC1.则∠B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角(或其补角),易求得AB1=,BC1=AD1=,B1D1=.由余弦定理得cos∠B1AD1=.故选C.方法总结本题主要考查异面直线所成的角,求异面直线所成角的方法有两种.一是定义法,二是用向量的夹角公式求解.3.(2014广东,5,5分)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)A.(-1,1,0)　    B.(1,-1,0)C.

12、(0,-1,1)　    D.(-1,0,1)答案B　经检验,选项B中向量(1,-1,0)与向量a的夹角的余弦值为,故它们的夹角为60°,故选B.4.(2014课标Ⅱ,11,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.答案C　解法一:取BC的中点Q,连接QN,AQ,易知BM∥QN,则∠ANQ即为所求,设BC=CA=CC1=2,则AQ=,AN=,QN=,∴cos∠ANQ====,故选C.解法二:以C1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系

13、,设BC=CA=CC1=2,则A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2),∴=(-1,0,-2),=(1,-1,-2),∴cos<,>====,故选C.5.(2016浙江文,14,4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD',直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是.答案解析如图,过D'作D'F⊥AC于点F,取AC的中点E,连接BE,则AC⊥BE.在△AD'C中,∵∠AD'C=90°,CD'=1,AD'=,∴AC=,∴D'F=,CF=,EF=,在△ABC

14、中,BE=.=++,则·=(++)·=·=×=2.设