自动控制原理第4章根轨迹法(史小平主讲课件).ppt

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1、第四章根轨迹法4.1引言系统的闭环极点系统的稳定性系统的动态性能系统闭环特征方程的根高阶方程情形下求解很困难系统参数（如开环放大倍数）的变化会引起其变化，针对每个不同参数值都求解一遍根很麻烦。1系统参数的值闭环极点在复平面内的位置一一对应关系如开环放大倍数参数连续变化闭环极点在复平面内画出相应的轨迹伊凡思（W.R.Evans）提出根轨迹法，以方便系统设计和调试。24.2根轨迹的基本概念根轨迹系统中某个参数由0变化到时，闭环极点在s平面内画出的轨迹。开环放大倍数从0时，闭环极点的轨迹，本章首先研究称为一般根轨迹。3-

2、闭环传递函数：特征方程：此方程的根即为闭环极点。4开环传递函数：开环零点开环极点特征方程写为：5根轨迹的幅值条件（模条件）：根轨迹的相角条件（幅角条件）：6举例给定开环传递函数开环零点：开环极点：ReIm07复平面内的试验点：若成立：则说明点在根轨迹上。规定逆时针幅角为正，反之为负。ReIm08然后根据根轨迹的幅值条件求取相应的参数值：由：得：当参数取该值时，反过来说，闭环极点就是上述点。9绘制根轨迹的主要步骤1把系统的开环传递函数写成零极点形式；2在s平面上画出开环零点和开环极点；3在s平面上找出满足幅角条件的点

3、，再把这些点连接成根轨迹；4对于根轨迹上的一些必要的点，利用幅值条件求出它们所对应的值，还可以进一步求出对应的开环放大倍数的值。104.3绘制根轨迹的基本规则1根轨迹的分支数等于开环零点数目与开环极点数目中的较大者。2根轨迹是连续的，并且是关于实轴对称的。3根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。114若开环极点数目大于开环零点数目，则当时，有条根轨迹沿着条渐近线趋向于无穷远处。ReIm的情形12ReIm0渐近线与实轴的夹角为渐近线与实轴交点的横坐标为135实轴右方开环零点和开环极点数目之和为奇数的线段是根轨迹；实轴

4、右方开环零点和开环极点数目之和为偶数的线段不是根轨迹。ReIm0实轴上的根轨迹分布示意图14ReIm00015[例4-1]负反馈系统的开环传递函数为绘制根轨迹的大致图形。16ReIm0-1-21A17[例4-2]负反馈系统的开环传递函数为绘制根轨迹的大致图形。18ReIm-1-20AB-3196根轨迹的汇合分离点坐标是方程的根，其中开环传递函数为20附加规则条根轨迹进入并离开汇合分离点时，相邻两条根轨迹间的夹角为，若，则相邻两条根轨迹间的夹角为。21[例4-3]求例4-1中根轨迹的汇合分离点A的坐标。22[例4-4

5、]求例4-2中根轨迹的汇合分离点A和B的坐标。23ReIm-1-20AB-3-0.59-3.4124思考题例4-2中根轨迹的中间部分是否是一个圆？为什么？解答25当时，分布于第II、第III象限的共轭虚数极点：闭环系统存在一对26共轭虚数闭环极点：以第II象限的闭环极点为例：2728（1）（2）由式（2）可得：（3）由式（1）可得：（4）式（4）代入式（3），并整理可得：29（5）由于位于第II象限，因此：，式（5）表示一个以为圆心，为半径，且位于第II象限的半圆。30本次课内容总结根轨迹的基本概念根轨迹的模条件根

6、轨迹的幅角条件绘制根轨迹的规则1-规则631根轨迹的入射角与出射角出射角以虚数开环极点为起点的根轨迹，在起点处根轨迹的切线的倾斜角。入射角以虚数开环零点为终点的根轨迹，在终点处根轨迹的切线的倾斜角。32ReIm0虚数开环极点的出射角示意图33ReIm0虚数开环零点的入射角示意图34的出射角位于的邻域内闭环极点ReIm0开环虚数极点出射角求取示意图35绘制根轨迹的基本规则（续）7始于开环虚数极点的根轨迹的出射角为终止于开环虚数零点的根轨迹的入射角为36注意以上两式只给出了和的出射角和入射角，若计算其他开环虚数零、极点

7、处的入射、出射角，只要将该点的编号改为1即可。绘制根轨迹时，横、纵坐标的单位长度必须一致。由根轨迹关于实轴对称的原则，只要求出一个开环虚数零、极点的入射、出射角，则与之共轭的开环虚数零、极点的入射、出射角即可推得。37[例4-5]负反馈系统的开环传递函数为绘制该系统的根轨迹。ReIm01-1-1-2-2.12出射角汇合分离点38根轨迹与虚轴的交点坐标8根轨迹与虚轴的交点坐标及对应的参数的值，由代数方程组所确定。39[例4-6]求例4-1中根轨迹与虚轴交点的坐标及相应的参数的值。40ReIm0-1-21A41开环放大

8、倍数的求取根轨迹上某一点满足模条件：42如何由值求得开环放大倍数值？开环传递函数的两种等价形式：43不考虑积分环节令令449计算，根轨迹上任意一点对应的参数的值可由并由下式求出开环放大倍数。0,I,II型系统4510所有闭环极点的总和等于，所有闭环极点的连乘积等于，其中，闭环系统的特征方程为46[例4-7]在例4-1中，给定负反馈系统的开环传递函数为当根轨迹