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1、统计学-从典型案例到问题和思想经济管理类“十三五”规划教材典型案例【6】第一节抽样分布基本概念第二节几个常见的抽样分布第五章抽样分布【典型案例6】如何决定是否购买一批苹果？俗话说“一日一苹果，医生远离我。”假如现在面对一批苹果，人们如何了解它们口感的均值和差异值，以便作出是否购买这批苹果的决策呢？人们常用作法：从这批苹果中随机挑出几个品尝后，得出这几个苹果口感的均值和差异值，以此作为这批苹果口感的均值和差异值，从而作出是否购买这批苹果的决策。从统计学角度来讲，挑出的几个苹果 口感的均值和差异值就是样本平均数和样 本方差，这批苹果口
2、感的均值和差异值是 总体平均数和总体方差。这种用商品质量数据的样本平均数、 样本方差作为总体平均数、总体方差的作 法，是人们购买商品时常用的有效估计方 法，其理论依据是本章将要学习的内容。【典型案例6】如何决定是否购买一批苹果？第一节抽样分布基本概念一、样本容量和样本个数二、参数和统计量三、抽样分布四、抽样分布的数字特征总体是研究的所有个体构成的集合，其 中的个体的数目常用表示。 从中随机抽取部分个体构成一个样本，构成样本的个体的数目，常用表示，称 为样本容量，也称样本量。 例如，典型案例6中，一批苹果有400个，从中抽取8个进
3、行品尝，那么，而。显然，从中可以得到很多个样本。一、样本容量和样本个数从一个含有N个个体的总体中，随机抽取样本容量为n的样本，可得到很多个样本，此即样本个数。 典型案例6中，将400个苹果编号，则随机抽取的样本可能是由编号为1—8的这8个苹果构成，也可能是由编号为101— 108的8个苹果构成等等。一、样本容量和样本个数参数是用来描述总体数量特征的，如总体均值、总体比例、总体方差等；统计量是用来描述样本数量特征的，是由样本构造的函数，如样本均值、样本比例、样本方差等。 由于总体是唯一的、固定不变的，故参数往往是一个未知的常数；而样
4、本不唯一，且一旦抽取出来，就成为已知，故统 计量是随机变量，其取值随着样本的变化 而改变。二、参数和统计量抽样的目的就是要根据样本统计量去估计或推断总体参数。比如，常用样本均值去推断总体均值、用样本比例去推断总体比例、用样本方差去推断总体方差。以上做法的理论依据就是——样本统计量的抽样分布。二、参数和统计量统计量是随机变量。抽样分布就是统计量的概率分布。如样本均值的概率分布、样本比例的概率分布、样本方差的概率分布等都称为抽样分布。三、抽样分布以下将以样本均值为例说明统计量的抽样分布。【例5-1】设有一个总体，含有5个个体：10、2
5、0、30、40、50，即。采取重复抽样的方式从中抽取样本容量为2的样本，即。试写出样本均值的抽样分布。三、抽样分布解：由于=5，=2，从总体中采取重复抽样的方式抽取样本，则样本共有=52=25个。计算出这25个样本的均值，其结果如表5-1所示。样本序号样本个体样本均值样本均值的概率110,10101∕25210,20152∕25310,30203∕25410,40254∕25510,50305∕25620,1015720,2020820,3025920,40301020,50354∕251130,10201230,20251330
6、,30301430,40351530,50403∕251640,10251740,20301840,30351940,40402040,50452∕252150,10302250,20352350,30402450,40452550,50501∕25表5-1n=2时样本均值的抽样及其取值情况表5-2=2时样本均值的抽样分布从而，样本均值的概率分布如表5-2所示。三、抽样分布10在例5-1中，若样本容量n=4，则样本共有个,并且例5-1中的总体是一个非常小的总体，现实世界中，我们面对的总体往往很大，进而样本数目将很可观，不可能将所有
7、的样本都抽取出来。因此抽样分布实质上是一种理论分布。它可能是精确的某已知分布，也可能是以某已知分布为极限的极限分布。三、抽样分布抽样分布理论在推断统计中具有重要的作用，它是后续参数估计和假设检验的理论依据和基础。三、抽样分布设总体的平均数为，方差为，采取重复抽样的方式，从中抽取独立同分布的样本：，…，。根据数学期望和方差的性质，可推出：四、抽样分布的数字特征（一）样本均值的数字特征（5.1）在例5-1中，样本均值的平均数总体均值样本均值的方差总体方差由于n=2，从而验证了（5.1）的正确性。四、抽样分布的数字特征由式（5.1）可知
8、：的平均数为，方差为。随着的增大，其方差越来越小，从而的取值越来越向着靠拢，故用去估计理论依据成立。由此可见，典型案例6中，人们用挑选出的几个苹果口感的均值去估计这批苹果口感的均值的做法是站得住脚的。四、抽样分布的数字特征以上结论均建立在重复抽样情
