习题解析第五课时.ppt

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1、定理5.7.对于任意n阶实对称矩阵A,存在正交矩阵Q,使得Q–1AQ=QTAQ==diag(1,2,…,n),其中1,2,…,n为A的全部特征值,Q=(q1,q2,…,qn)的列向量组是A的对应于1,2,…,n的标准正交特征向量组.实对称矩阵的正交相似对角化推论.n阶实对称矩阵A的ni重特征值都有ni个线性无关的特征向量，再由施密特正交化方法知，必有ni个标准正交的特征向量.§5.3实对称矩阵的相似对角化第五章特征值与特征向量求

2、E–A

3、=0的根,得到所有特征值1,2,…,s注:特征向量要与特征值的顺序

4、相对应实对称阵的正交相似对角化对每个i,求(iE–A)x=0的基础解系i1,i2,,iti利用施密特正交化方法将i1,i2,,it正交化，并单位化，得到标准正交特征向量i1,i2,,itii则Q–1AQ=QTAQ=令Q=(11,12,,1t,…,s1,s2,,st)1s=diag(1,…,1,…,s,…,s)§5.3实对称矩阵的相似对角化第五章特征值与特征向量解：(2)若A,B是一般方阵，特征多项式相同，不一定相似也不一定正交相似。比如：实对称矩阵A,B的特征多项式相同，所以

5、它们的特征值相同，A,B都与=diag(1,…,n)相似并且正交相似，所以A,B正交相似。例1.若A,B是实对称阵,

6、EA

7、=

8、EB

9、,A,B是否相似？是否正交相似？若A,B是一般实方阵呢？注：若A相似对角化,f(A)呢？解所以A的全部特征值为0(n1重根),例1.设0,Rn,求A=T的特征值和特征向量.实对称阵A可正交相似对角化.即存在正交阵Q和对角阵,0,使得§5.3实对称矩阵的相似对角化第五章特征值与特征向量因为A的全部特征值为0(n1重根),例1.设0,Rn,求A=T的特征值

10、和特征向量.并求

11、EA3

12、.是A的特征值f,f()是f(A)的特征值所以EA3的特征值为1(n1重根),解:§5.3实对称矩阵的相似对角化第五章特征值与特征向量例2.设0,Rn,求A=T的特征值和特征向量.并求

13、EA3

14、.A与相似f,f(A)与f()相似解2:因为存在正交阵Q和对角阵,使得§5.3实对称矩阵的相似对角化第五章特征值与特征向量证明：3.设n阶方阵A的任一行中n个元素之和都是0,证明：0是A的一个特征值,并求出其对应的一个特征向量.所以0是A的一个特征值.对应0的一个特征向量

15、为设n阶方阵A可逆，且A每行元素之和都等于a，证明：a0.证明:a0.A每行元素之和都等于aa是A的特征值，(1,…,1)T是A对应于a的特征向量方阵A可逆A的特征值都不等于0A1每行元素之和等于?解：因此，对于A的任意的特征值都有因为A满足A23A+2E=O是A的一个化零多项式，所以A的特征值只能取1,2。(2)当A=E时，2不是A的特征值.1不是A的特征值.4.设矩阵A满足A23A+2E=O,证明：A的特征值只能取1或2，举例说明1和2未必一定是A的特征值.A满足A23A+2E=O当A=2E时，A满足A23

16、A+2E=O解：对于A的任意的特征值都有因为A满足A2=E是A的一个化零多项式，所以A的特征值只能取1,1。(2)若1不是A的特征值，5.设矩阵A满足A2=E,证明：A的特征值只能取1或1;若1不是A的特征值，则A=E.是方阵A的一个特征值(EA)不可逆.不是方阵A的特征值(EA)可逆.则(1EA)可逆.由A2=E可得(A+E)(AE)=O则A=E.解：所以A的三个特征值为1,3,1.6.设A为3阶矩阵，如果EA,3EA,E+A均不可逆，求A的迹和行列式.因为EA,3EA,E+A均不可逆是

17、方阵A的一个特征值(EA)不可逆.不是方阵A的特征值(EA)可逆.

18、EA

19、=

20、3EA

21、=

22、E+A

23、=0证明：7.设1,2为方阵A的属于不同特征值1,2的特征向量，若k1k20,证明k11+k22不是A的特征向量.若k11+k22是A的特征向量,则存在使得因为1,2线性无关产生矛盾.因此，k11+k22不是A的特征向量.证明2：因为1,2为对应于12的特征向量，所以1,2线性无关,设k11+k22为对应的特征向量.矛盾.当，线性无关,矛盾.当8.设1,2为方阵A的属

24、于不同特征值1,2的特征向量，若k1k20,证明k11+k22不是A的特征向量.k11+k22k11+k22,1,2因此，k11+k22不是A的特征向量9.设的一个特征向量.(1)求a,b及对应的特征值