《λ─矩阵的标准形》PPT课件.ppt

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1、一、λ－矩阵的初等变换二、λ－矩阵的初等矩阵§8.2λ─矩阵的标准形三、等价λ－矩阵四、λ－矩阵的对角化§8.2λ─矩阵的标准形λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换:①矩阵两行（列）互换位置；②矩阵的某一行（列）乘以非零常数c；是一个多项式.③矩阵的某一行（列）加另一行（列）的倍，一、λ－矩阵的初等变换定义：§8.2λ─矩阵的标准形代表第行乘以非零数c；代表把第行(列)的倍加到第为了书写的方便，我们采用以下记号代表两行(列)互换；注：行(列).§8.2λ─矩阵的标准形将单位矩阵进行一次―矩阵的初等变换所得的矩阵称为―矩阵的初等矩阵.二、λ－矩阵的初等矩阵定义：注：①全部初等矩阵有三

2、类：i行j行§8.2λ─矩阵的标准形i行j行i行§8.2λ─矩阵的标准形②初等矩阵皆可逆.③对一个的―矩阵作一次初等行变换就相当于在在的左边乘上相应的的初等矩阵；对作一次初等列变换就相当于在的右边乘上相应的的初等矩阵.§8.2λ─矩阵的标准形为　－矩阵，则称与等价.―矩阵　　若能经过一系列初等变换化1)―矩阵的等价关系具有:反身性:与自身等价.对称性:与等价与等价.传递性:与等价,与等价与等价.三、等价λ－矩阵定义：性质：§8.2λ─矩阵的标准形2)与等价存在一系列初等矩阵使1.（引理）设―矩阵的左上角元素且中至少有一个元素不能被它整除，那么一定可以找到一个与等价的矩阵，它的左上

3、角元素，且.四、λ－矩阵的对角化§8.2λ─矩阵的标准形证：根据中不能被除尽的元素所在的位置，分三种情形来讨论:i)若在的第一列中有一个元素不能被除尽，其中余式，且对作下列初等行变换:则有§8.2λ─矩阵的标准形的左上角元素符合引理的要求，故　　为所求的矩阵.ii)在的第一行中有一个元素不能被除尽，这种情况的证明i)与类似.iii)的第一行与第一列中的元素都可以被除尽，但中有另一个元素§8.2λ─矩阵的标准形被除尽.对作下述初等行变换:我们设§8.2λ─矩阵的标准形矩阵　　的第一行中，有一个元素：不能被左上角元素除尽，转为情形ii).证毕.§8.2λ─矩阵的标准形2.（定理2）任

4、意一个非零的的一矩阵都等价于下列形式的矩阵其中是首项系数为1的多项式，且称之为的标准形.§8.2λ─矩阵的标准形证:经行列调动之后，可使的左上角元素若不能除尽的全部元素，由引理，可以找到与等价的，且由引理，又可以找到与等价的　　，且如此下去，将得到一系列彼此等价的λ－矩阵：左上角元素，若还不能除尽的全部元素，左上角元素，§8.2λ─矩阵的标准形但次数是非负整数，不可能无止境地降低.因此在有限步以后，将终止于一个λ－矩阵它的左上角元素，而且可以除尽的全部元素　即对作初等变换:它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低.§8.2λ─矩阵的标准形中的全部元素都是可以被　除尽的，因为它们都

5、是　中元素的组合.如果，则对于可以重复上述过程，进而把矩阵化成§8.2λ─矩阵的标准形其中与都是首1多项式(与只差一个常数倍数），而且能除尽的全部元素.如此下去，最后就化成了标准形.§8.2λ─矩阵的标准形例用初等变换化λ―矩阵为标准形.解：§8.2λ─矩阵的标准形§8.2λ─矩阵的标准形即为　　的标准形.§8.2λ─矩阵的标准形