同济大学第六版高等数学D9_3全微分.ppt

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1、第九章*二、全微分在近似计算中的应用应用第三节一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差本节内容:一、全微分的定义全微分一、全微分的定义定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，处全增量则称此函数在D内可微.(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微当函数可微时:得函数在该点连续偏导数存在函数可微即定理

2、1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点的偏导数同样可证证:因函数在点(x,y)可微,故必存在,且有得到对x的偏增量因此有反例:函数易知但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:定理2(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.所以函数在点可微.注意到,故有推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分.的全微分为于是例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例2.计算

3、函数的全微分.解:可知当*二、全微分在近似计算中的应用1.近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:(可用于误差分析或近似计算)(可用于近似计算)半径由20cm增大解:已知即受压后圆柱体体积减少了例3.有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm,则高度由100cm减少到99cm,体积的近似改变量.求此圆柱体例4.计算的近似值.解:设,则取则分别表示x,y,z的绝对误差界,2.误差估计利用令z的绝对误差界约为z的相对误差界约为则特别注意类似可以推广到三元及三元以上的情形.乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数例5.利用公式求计算面

4、积时的绝对误差与相对误差.解：故绝对误差约为又所以S的相对误差约为计算三角形面积.现测得例6.在直流电路中,测得电压U=24V,解:由欧姆定律可知()所以R的相对误差约为0.3+0.5R的绝对误差约为0.80.3;定律计算电阻为R时产生的相对误差和绝对误差.相对误差为测得电流I=6A,相对误差为0.5,=0.032()=0.8求用欧姆内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续定义3.微分应用•近似计算•估计误差绝对误差相对误差思考与练习1.P75题5；P129题1函数在可微的充分条件是()

5、的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.2.选择题答案:也可写作:当x=2,y=1,△x=0.01,△y=0.03时△z=0.02,dz=0.033.P129题74.设解:利用轮换对称性,可得注意:x,y,z具有轮换对称性答案:作业P741(3),(4);3;*6;*9;*115.已知第四节在点(0,0)可微.备用题在点(0,0)连续且偏导数存在,续,证:1)因故函数在点(0,0)连续;但偏导数在点(0,0)不连证明函数所以同理极限不存在,在点(0,0)不连续;同理,在点(0,0)也不连续.2)3)题目4)下面证明可微:说明:此

6、题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.令则题目