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1、一阶微分方程的习题课(一)一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题解法及应用第七章一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解变量代换法代换因变量代换某组合式三个标准类型可分离变量方程齐次方程线性方程代换自变量例1.求下列方程的通解提示:(1)故为分离变量方程:通解(2)这是一个齐次方程，令y=ux,化为分离变量方程:方程两边同除以x即为齐次方程,令y=ux,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy
2、,得(2)将方程改写为(伯努利方程)(分离变量方程)原方程化为令y=ut(齐次方程)令t=x–1,则可分离变量方程求解化方程为例3.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2003考研)(2)求出F(x)的表达式.解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是练习题:(题3只考虑方法及步骤)P353题2求以为通解的微分方程.提示:消去C得P353题3求下列微分方程的通解:提示:令u=xy,化成可分离变量方
3、程:提示:这是一阶线性方程,其中P353题1，2，3(1),(2),(3),(4),(6),(9),(10)提示:可化为关于x的一阶线性方程提示:为伯努利方程,令提示:可化为伯努利方程令公式提示:为可降阶方程,令原方程化为,即则故原方程通解提示:令例4.设河边点O的正对岸为点A,河宽OA=h,一鸭子从点A游向点二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O,提示:如图所示建立坐标系.设时刻t鸭子位于点P(x,y),设鸭子(在静水中)的游速大小为b求鸭子游动的轨迹方程.O,水流速
4、度大小为a,两岸则关键问题是正确建立数学模型,要点:则鸭子游速b为定解条件由此得微分方程即鸭子的实际运动速度为(自己求解)(齐次方程)思考:能否根据草图列方程?练习题:P354题5,6P354题5.已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.提示:设曲线上的动点为M(x,y),令X=0,得截距由题意知微分方程为即定解条件为此点处切线方程为它的切线在纵P354题6.已知某车间的容积为的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在30分钟后使车间空的含量不超过0.06%?提示:设每分钟应输入t时刻车间空气中含则在内车间内两端除
5、以并令与原有空气很快混合均匀后,以相同的流量排出)得微分方程(假定输入的新鲜空气输入,的改变量为t=30时解定解问题因此每分钟应至少输入250新鲜空气.初始条件得k=?作业P3043,7;P310*4(2);P3157(2),(4)
