同济大学第六版高等数学D12_7傅里叶级数.ppt

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1、第七节一、三角级数及三角函数系的正交性二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数第十二章傅里叶级数一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:令得函数项级数为角频率,φ为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.定理1.组成三角级数的函数系证:同理可证:正交,上的积分等于0.即其中任意两个不同的函数之积在上的积分不等于0.且有但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在二、函数展开成傅里叶级数定理2.设f(x)是周期为2的周期函数,且右端级数可逐项积分,则有证:由定理条件,①②对①在逐项积分,得(利用正交性)类似地,用sinkx乘①式两边,再

2、逐项积分可得叶系数为系数的三角级数①称为的傅里叶系数;由公式②确定的①②以的傅里的傅里叶级数.称为函数简介定理3(收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有x为间断点其中(证明略)为f(x)的傅里叶系数.x为连续点注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.简介例1.设f(x)是周期为2的周期函数,它在上的表达式为解:先求傅里叶系数将f(x)展成傅里叶级数.1)根据收敛定理可知,时,级数收敛于2)傅氏级数的部分和逼近

3、说明:f(x)的情况见右图.例2.设f(x)是周期为2的周期函数,上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.解:它在说明:当时,级数收敛于周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数定义在[–,]上的函数f(x)的傅氏级数展开法其它例3.将函数则解:将f(x)延拓成以展成傅里叶级数.2为周期的函数F(x),当x=0时,f(0)=0,得说明:利用此展式可求出几个特殊的级数的和.设已知又三、正弦级数和余弦级数1.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数定理4.对周期为2的奇函数f(x),其傅里叶级数为周期为2的偶函数f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为例4.设的表达式

4、为f(x)x,将f(x)展成傅里叶级数.f(x)是周期为2的周期函数,它在解:若不计周期为2的奇函数,因此n＝1根据收敛定理可得f(x)的正弦级数:级数的部分和逼近f(x)的情况见右图.n＝2n＝3n＝4n＝5例5.将周期函数展成傅里叶级数,其中E为正常数.解:是周期为2的周期偶函数,因此为便于计算,将周期取为22.定义在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数f(x)在[0,]上展成例6.将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解:先求正弦级数.去掉端点,将f(x)作奇周期延拓,注意:在端点x=0,

5、,级数的和为0,与给定函数因此得f(x)=x+1的值不同.再求余弦级数.将则有作偶周期延拓,说明:令x=0可得即内容小结1.周期为2的函数的傅里叶级数及收敛定理其中注意:若为间断点,则级数收敛于2.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数奇函数正弦级数偶函数余弦级数3.在[0,]上函数的傅里叶展开法作奇周期延拓,展开为正弦级数作偶周期延拓,展开为余弦级数1.在[0,]上的函数的傅里叶展开法唯一吗?答:不唯一,延拓方式不同级数就不同.思考与练习,处收敛于2.则它的傅里叶级数在在处收敛于.提示:设周期函数在一个周期内的表达式为3.设又设求当的表达式.解:由题设可知应对作奇延拓:由周期性:为周期的正

6、弦级数展开式的和函数,在f(x)的定义域内时4.写出函数傅氏级数的和函数.答案:定理3P3131(1),(3);2(1),(2);5;6;7(2)第八节作业备用题1.叶级数展式为则其中系数提示:利用“偶倍奇零”(1993考研)的傅里函数2.设是以2为周期的函数,其傅氏系数为则的傅氏系数提示:令类似可得利用周期函数性质傅里叶(1768–1830)法国数学家.他的著作《热的解析理论》(1822)是数学史上一部经典性书中系统的运用了三角级数和三角积分,他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分.最卓越的工具.以后以傅里叶著作为基础发展起来的文献,他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理

7、和工程技术的发展都产生了深远的影响.狄利克雷(1805–1859)德国数学家.对数论,数学分析和数学物理有突出的贡献,是解析数论他是最早提倡严格化方法的数学家.函数f(x)的傅里叶级数收敛的第一个充分条件;了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和,举例说明条件收敛级数不具有这样的性质.他的主要的创始人之一,并论文都收在《狄利克雷论文集》(1889一1897)中.1829年他得到了给定证明