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1、利用空间向量解决立体几何问题数学专题二学习提纲二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。1、直线的方向向量；2、平面的法向量。一、引入两个重要空间向量二.立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a,b.①若a∥b,即a=λb,则a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,则a⊥babab例1已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BC
2、D=θ,求证:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD证明：设a,b,c,依题意有
3、a
4、=
5、b
6、，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=
7、c
8、·
9、a
10、cosθ–
11、c
12、·
13、b
14、cosθ=0∴CC1⊥BD2.P是△ABC所在平面外的一点，PD、PE、PF分别是∠APB、∠APC,∠BPC的平分线，且PD⊥PE，求证：PE⊥PF,PF⊥PD。所以PF⊥PE；同理PF⊥PD。证明直线和直线垂直A’B’线线垂直7在空间四边形ABCD中，M,N分别是AD,BC的中点，求证：2MN=AB+DC,且MN,AB,CD平行于同一平面。证明共面问题(2)直线与平面的位置关系直线L的方向向量为a,平面α的法向量为
15、n,且Lα.①若a∥n,即a=λn,则L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,则a∥α.naααnaLL(3)平面与平面的位置关系平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,则α⊥ββαβαn2n1n1n28在平行六面体AC’中，E,F,G分别是A’D’,DD’,D’C’的中点，求证：平面EFG//平面AB’C。证明面面平行13在平行六面体AC’中，AB=AD,∠A’AD=∠A’AB=∠DAB=60º.(1)求证：AA’⊥BD;(2)当 的值为多少时，才能使AC’⊥平面AB’D.请证明。证明线线线面垂直13(2)在平行六面体A
16、C’中，AB=AD,∠A’AD=∠A’AB=∠DAB=60º.(2)当 的值为多少时，才能使AC’⊥平面A’BD.请证明。解：线线线面垂直2如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.BACD2.求空间中的角(1)两异面直线的夹角利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.(2)直线与与平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直线L的方向向量,设L与α所成的角θ,n与a所成的角
17、α则θ=α-或θ=-α于是,因此θθnααnaa（3）二面角设n1、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.n1n2αβn1n23.求解空间中的距离(1)异面直线间的距离两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算.如图,设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n,这时分别在a、b上任取A、B两点,则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a、b
18、的距离.∴即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.nabAB(2)点到平面的距离A为平面α外一点(如图),n为平面α的法向量,过A作平面α的斜线AB及垂线AH.==.于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.nABHαθ空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题。这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了
19、思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。
