陈伯时运动控制系统 第4章_系统运动的稳定性分析.pdf

《陈伯时运动控制系统 第4章_系统运动的稳定性分析.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第4章系统运动的稳定性分析稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件，它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而与输入作用无关。1.线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统初始条件及外作用无关；2.非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与系统初始条件及外作用有关；稳定性判别方法经典控制理论中：线性定常系统的稳定性：代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）；奈奎斯特判据；对数稳定判据等。非线性定常系统的稳定性：描述函数法：要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；相平面法：仅适合于一阶

2、、二阶非线性系统。现代控制理论中：一般系统（包括单变量、线性、定常系统，以及多变量、非线性、时变系统）的稳定性：李雅普诺夫稳定性理论。李雅普诺夫稳定性理论。李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法：1.间接法：利用线性系统微分方程的解来判系统的稳定性，又称李雅普诺夫第一法；2.直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，然后利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，又称李雅普诺夫第二法。李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般理论，它采用状态空间描述，

3、在分析一些特定的非线性系统的稳定性时，有效地解决了其它方法所不能解决的问题。该理论比经典控制理论中的稳定性判据适应范围更广。4.1李雅普诺夫稳定性定义4.2李雅普诺夫第一法4.3李雅普诺夫第二法及其主要定理4.4线性系统稳定性分析4.1李雅普诺夫稳定性定义一.BIBO稳定性的概念对于一个初始条件为零的系统，如果在有界的输入u(t)的作用下，所产生的输出y(t)也是有界的，则称此系统是外部稳定的，也即是有界输入-有界输出稳定的。并简称为BIBO稳定。李雅普诺夫稳定性的物理意义是系统响应是否有界。二．平衡

4、状态李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。1.平衡状态的定义设系统状态方程为：x&=f(x,t)1.4(−)1若对所有t，状态x满足x&=0，则称该状态x为平衡状态，记为xe。故有下式成立：f()xe,t=01.4(−)2由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。2.平衡状态的求法由定义可见，平衡状态将包含在f(x,t)=0这样一个代数方程组中。对于线性定常系统x&=Ax，其平衡状态为xe应满足代数方程Ax=0。只有坐标原点处是系统的平衡状态点对于非线性系统，方程f(x,t)=0的解可能有

5、多个，视系统方程而定。⎧x&1=−x1⎧−x1=0如：⎨3⎨x&=x+x−xx+x−x3=0⎩2122⎩122⎧x1=0⎧x=0⎨1⎩x21(−x2)(1+x2)=0⎨x1(−x2)=0⎩22该系统存在三个平衡状态：⎡0⎤⎡0⎤⎡0⎤x=⎥,x=⎥,x=e1⎢e2⎢e3⎢⎥⎣0⎦⎣1⎦⎣−1⎦三．范数的概念范数的定义n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数1，用x表示，则：222()Tx=x+x+Lx=xx212n向量的距离长度x−xe称为向量x与x的距离，写为：e()()22x−x=x−x+Lx

6、−xe1e1nen四．李雅普诺夫稳定性定义1．李雅普诺夫意义下的稳定性P169定义：对于系统x&=f(x,t)，设系统初始状态位于以平衡状态x为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即ex−x≤δ,t=t0e0若能使系统从任意初态x0出发的解x(t;x0,t0)在t>t0的过程中，都位于以x为球心、任意规定的半径ε的闭e球域S(ε)内，即：x()t;x,t−x≤ε(t≥t)00e0则称系统的平衡状态x在e李雅普诺夫意义下是稳定的。几何意义按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动，将在平面描

7、绘出一条封闭曲线，但只要不超出S(ε),则认为是稳定的，这与经典控制理论中线性定常系统的稳定性定义有差异。2．渐进稳定性（经典理论稳定性）定义：如果系统的平衡状态x不仅有李雅普诺夫意义下的e稳定性，且对于任意小量μ>0，总有x(t;x,t)−x≤μlim00et→∞则称平衡状态x是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。e这时，从S(δ)出发的轨迹不仅不会超出S(ε)，且当t→∞时收敛于x，可见经典控制理论中的稳定性定e义与渐进稳定性对应。几何意义：3.大范围渐进稳定性定义：当初始状态扩展到整个状态空间，且平衡状

8、态x均具有渐进稳定性，称这种平衡状态x是大范ee围渐近稳定的。此时，δ→∞，S(δ)→∞。当t→∞时，由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于x。e对于严格的线性系统，如果它是渐近稳定的，必定是大范围渐进稳定的。这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说，其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统渐进稳定不一定是大范围渐进稳定。几何意义：4．不稳定性定义：如果对于某个实数ε>0和任一实数δ>0，不管δ这个实数多么小，在S(δ)内总存在