2011年全国高中数学联赛四川初赛试题及答案.doc

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1、2011年全国高中数学联赛四川初赛试题详细解答一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、双曲线的左、右准线l1、l2将线段F1F2三等分（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率等于（）．A、B、C、D、解：由题意得，解得．故答案选B．2、已知三次函数，),命题：是上的单调函数；命题：的图像与轴恰有一个交点．则是的（）A、充分但不必要条件B、必要但不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件解：选A．3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏．每一局甲、乙、丙同

2、时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且是相互独立的．设在一局中甲赢的人数为，则随机变量的数学期望的值为（）A、B、C、D、1解：,,,于是.故答案选．4、函数的最大值为（）A、B、3C、D、解：法一：的定义域为，由，解得．因为，，，于是．故答案选C．法二：的定义域为，当且仅当，即时，取到最大值．故答案选C．5、如图，边长为2的正方形ABCD和正方形ABEF所在的面成60°角，M、N分别是线段AC和BF上的点，且，则线段MN的长的取值范围是A、B、C、D、解：过点M作MH//BC交AB于H，则，又

3、AM=FN，AC=FB，∴，∴NH//AF，∴NH⊥AB，MH⊥AB，∴∠MHN=60°．设AH=x(0≤x≤2)，则MH=x，，∴∴．选答案选B．6、设数列为等差数列，数列满足：，，，……，若，则数列的公差为（）A、B、1C、2D、4解：于是，解得．故答案选D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、已知实数满足，则的取值范围是．解：因为，等号成立当且仅当，即．故答案填．8、设平面内的两个非零向量与相互垂直，且，则使得向量与互相垂直的所有实数之和为．解：由于=，即=0，所以由根

4、与系数的关系知符合条件所有实数之和为1．故答案填1．9、记实数等比数列的前项和为，若，则．解：记，，，设为的公比，则构成以为公比的等比数列，于是即，解得或（舍去），故．故答案填150.10、设为实数，定义为不小于的最小整数，例如，．关于实数的方程的全部实根之和等于．解：设，则，，于是原方程等价于，即，从而，即．相应的为．于是所有实根之和为．故答案填．11、已知，其中为整数，则．解：由条件知，于是，故．故答案填．12、已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=A

5、B=2,设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为．解：如图，因为SA=SB=SC，所以S在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即AB的中点H，同理O点在平面ABC上的射影也是△ABC的外心H，即在等边△SAB中，求OH的长，其中OA=OB=OS．显然，．故答案填．三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、已知，若函数的最大值为，求的最小值．解：令，则，（5分）∴，∴当时，有最大值，即．（10分）∴，（15分）等号当且仅当时成立，∴当时，有最小值

6、10．（20分）14、已知函数在有最大值5，求实数的值．解：（5分）令，则，从而（10分）令，由题意知在有最大值5.当时，在时有最大值5，故符合条件；（15分）当时，，矛盾！当时，，矛盾！综上所述，所求的实数．（20分）15、抛物线与过点的直线交于、两点．（I）求直线的斜率的取值范围；(II)求在线段上满足条件的点的轨迹方程．解：（I）直线的方程为，与抛物线方程联立得，消去得，即，由，解得或．（5分）（II）设点坐标为，点坐标为，点坐标为，则，，又、、都在直线上，所以有，，，由得化简得（10分）

7、又，点在线段上，所以同号．则因此①，②，由①得代入②得,即，（15分）又因为或，所以的取值范围是且，因此点的轨迹方程是（且）．（20分）16、已知为实数，数列的前项和为，满足：，且对任何的正整数恒成立．求证：当取到最大值时，对任何正整数都有．证明：当时，由得，当时，，，∴，即，（5分）∴∴，即（10分）由条件知，对任何正整数恒成立，即对任何正整数恒成立，由于在时取最大值，于是，解得．由上式知道的最大值为．（15分）当时，，于是，所以．（20分）