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1、第五章微分法:积分法:互逆运算不定积分二、不定积分三、不定积分的几何意义一、原函数第一节不定积分的概念第五章一、原函数引例:一个质量为m的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:已知求在变力试求质点的运动速度根据牛顿第二定律,加速度定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间I上的一个原函数.则称F(x)为f(x)如引例中,的原函数已知求所以,为的原函数有:类似例子参见P204:例2,3,4.又如问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,则原函数不是唯一的.那么,它们之
2、间有什么联系呢?定理1.存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数定理2.证:1)1).对于任意常数C,则则又知故即定义2.在区间I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;(P205)若则(C为任意常数)C称为积分常数不可丢!例如,记作二、不定积分例1求解解例2求三、不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线.例3.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,
3、求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为从不定积分定义可知:或或结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.第二节基本积分公式表第五章基本积分表(P208)(k为常数)或或例1.求解:原式=例2.求解:原式=恒等变形第三节不定积分的性质第五章不定积分的性质2.证:等式成立.推论:若则例1.求解:原式=分项积分法例2.求解:原式=例3.求解:原式=分项积分法例4.求解:原式=分项积分法类似例子参见P209:例1,3,4.例5.解:总成本y是某化工厂生产某种产品，每日生产的产品的总成本y的
4、变化率（即边际成本）是日产量x的函数：已知固定成本为1000元，求总成本与日产量的函数关系。的原函数，所以故总成本与日产量的函数关系为：二、第二类换元法第四节一、第一类换元法换元积分法第五章第二类换元法第一类换元法基本思路设可导,则有一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)例1.求解:令则原式=注:当时例2.求解:令则想到公式例3.求想到解:(直接凑微分)例4.求解:类似直接凑微分例5.求解:∴原式=直接凑微分常用的几种凑微分形式:万能凑幂法例子参见P211:例2,3.例6.求解:原
5、式=例7.求解:原式=例8.求解:原式=例9.求解法1解法2两法结果一样例10.求解法1解法2同样可证或(P212例6)例11.求解:降低幂次后直接凑微分例12.求解:∴原式=积化和差后直接凑微分思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?二次三项式化去一次项2.求提示:法1法2法3二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,则有换元公式例13.求解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,则有原式令例14
6、.求解:令则原式例15.求解:令则∴原式例16.求解:令则∴原式例17.求解:令则∴原式令于是原式例18.求解:令则原式当x<0时,类似可得同样结果.倒变换小结:1.第二类换元法常见类型:令令令或令令2.常用基本积分公式的补充(P211)(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换令解:原式例19.求二次三项式化去一次项第五节由导数公式得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.分部积分法第五章例1.求解:令则∴原式思考:如何求提示:令则原式例2求积分解（再次使用分部积分法）思考求积分总结若被积函数是幂函数和
7、正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)例3.求解:令则∴原式例4.求解:令则原式=总结若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.思考求例5.求解:令,则∴原式再令,则故原式=说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.思考.求解:令则解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为例6.求解:令,则原式=反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数例8.求解:令
8、则原式令例9.求解:令则得递推公式说明:递推公式已知利用递推公式可求得例如,说明:分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的u,v函数类型不变,解出积分后加C)3)对含自然数n的积分,通过分部积分建立递推公式.
