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1、第九章第五节一、一个方程所确定的隐函数及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数的求导方法1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程C<0时,能确定隐函数C>0时,不能确定隐函数2)方程能确定隐函数时,研究其连续性,可微性及求导方法问题.本节讨论:10/7/2021同济版高等数学课件一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1.设函数则方程单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足②
2、③满足条件导数10/7/2021同济版高等数学课件两边对x求导在的某邻域内则10/7/2021同济版高等数学课件若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:则还可求隐函数的10/7/2021同济版高等数学课件例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解:令连续;由定理1可知,①导的隐函数则②③在x=0的某邻域内方程存在单值可且并求10/7/2021同济版高等数学课件10/7/2021同济版高等数学课件两边对x求导两边再对x求导令x=0,注意此时导数的另一求法—利用隐函数求导10/
3、7/2021同济版高等数学课件定理2.若函数的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确10/7/2021同济版高等数学课件两边对x求偏导同样可得则10/7/2021同济版高等数学课件例2.设解法1利用隐函数求导再对x求导10/7/2021同济版高等数学课件解法2利用公式设则两边对x求偏导10/7/2021同济版高等数学课件例3.设F(x,y)具有连续偏导数,解法1利用偏导数公式.确
4、定的隐函数,则已知方程故10/7/2021同济版高等数学课件对方程两边求微分:解法2微分法.10/7/2021同济版高等数学课件二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由F、G的偏导数组成的行列式称为F、G的雅可比行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即雅可比10/7/2021同济版高等数学课件定理3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组③的单值连续函数且有偏导数公式:①在点②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:导数；10/7/2021同济版高等数学课件
5、定理证明略.仅推导偏导数公式如下：(P85)10/7/2021同济版高等数学课件有隐函数组则两边对x求导得设方程组在点P的某邻域内解的公式故得系数行列式10/7/2021同济版高等数学课件同样可得10/7/2021同济版高等数学课件例4.设解:方程组两边对x求导，并移项得求练习:求答案:由题设故有10/7/2021同济版高等数学课件例5.设函数在点(u,v)的某一1)证明函数组(x,y)的某一邻域内2)求解:1)令对x,y的偏导数.在与点(u,v)对应的点邻域内有连续的偏导数,且唯一确定一组单值、
6、连续且具有连续偏导数的反函数10/7/2021同济版高等数学课件①式两边对x求导,得则有由定理3可知结论1)成立.2)求反函数的偏导数.①②10/7/2021同济版高等数学课件②从方程组②解得同理,①式两边对y求导,可得10/7/2021同济版高等数学课件例5的应用:计算极坐标变换的反变换的导数.同样有所以由于10/7/2021同济版高等数学课件内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式.思考与练习设求1
7、0/7/2021同济版高等数学课件提示:10/7/2021同济版高等数学课件解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.作业P873,6，7,*9,10(1);(3)，11第六节由dy,dz的系数即可得10/7/2021同济版高等数学课件备用题分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.设解:两个隐函数方程两边对x求导,得(2001考研)解得因此10/7/2021同济版高等数学课件2.设是由方程和所确定的函数,求解法1分别在各方程两端对x求导,得(1999考研)10/7/2021同济版高等
8、数学课件解法2微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去可得10/7/2021同济版高等数学课件二元线性代数方程组解的公式解:10/7/2021同济版高等数学课件雅可比(1804–1851)德国数学家.他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列式理论也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积分中.他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.他在柯尼斯堡大学任教
