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1、二、几个初等函数的麦克劳林公式第三节一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用应用目的－用多项式近似表示函数.理论分析近似计算泰勒公式第三章10/2/2021同济高等数学课件特点:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x的一次多项式10/2/2021同济高等数学课件1.求n次近似多项式要求:故令则10/2/2021同济高等数学课件2.余项估计令(称为余项),则有10/2/2021同济高等数学课件10/2/2021同济高等数学课件公式①称为的n阶泰勒
2、公式.公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项.泰勒(Taylor)中值定理:阶的导数,时,有①其中②则当泰勒10/2/2021同济高等数学课件公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到③④*可以证明:④式成立10/2/2021同济高等数学课件特例:(1)当n=0时,泰勒公式变为(2)当n=1时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差10/2/2021同济高等数学课件称为麦克劳林(Maclaurin)公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在
3、公式成立的区间上麦克劳林由此得近似公式10/2/2021同济高等数学课件二、几个初等函数的麦克劳林公式其中麦克劳林公式10/2/2021同济高等数学课件其中麦克劳林公式10/2/2021同济高等数学课件麦克劳林公式类似可得其中10/2/2021同济高等数学课件其中麦克劳林公式10/2/2021同济高等数学课件已知其中因此可得麦克劳林公式10/2/2021同济高等数学课件三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用误差M为在包含0,x的某区间上的上界.需解问题的类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n;
4、2)已知项数n和x,计算近似值并估计误差;3)已知项数n和误差限,确定公式中x的适用范围.10/2/2021同济高等数学课件例1.计算无理数e的近似值,使误差不超过解:已知令x=1,得由于欲使由计算可知当n=9时上式成立,因此的麦克劳林公式为10/2/2021同济高等数学课件说明:注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后6位,则各项舍入误差之和不超过总误差限为这时得到的近似值不能保证误差不超过因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.10/2/2021同济高等数学课件例2.用近似公
5、式计算cosx的近似值,使其精确到0.005,试确定x的适用范围.解:近似公式的误差令解得即当时,由给定的近似公式计算的结果能准确到0.005.10/2/2021同济高等数学课件2.利用泰勒公式求极限例3.求解:由于用洛必达法则不方便!用泰勒公式将分子展到项,10/2/2021同济高等数学课件3.利用泰勒公式证明不等式例4.证明证:+10/2/2021同济高等数学课件内容小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.10/2/2021同济高等数学课件2.常用函数的麦克劳林公式(P142~P144)3
6、.泰勒公式的应用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式等.(2)利用多项式逼近函数例如10/2/2021同济高等数学课件泰勒多项式逼近6422464224O10/2/2021同济高等数学课件泰勒多项式逼近642246O422410/2/2021同济高等数学课件思考与练习计算解:原式第四节作业P1451;4;5;7;8;*10(1),(2)10/2/2021同济高等数学课件泰勒(1685–1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715
7、)《线性透视论》(1719)他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式.他是有限差分理论的奠基人.10/2/2021同济高等数学课件麦克劳林(1698–1746)英国数学家,著作有:《流数论》(1742)《有机几何学》(1720)《代数论》(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数.10/2/2021同济高等数学课件证:由题设对备用题1.有且点10/2/2021同济高等数学课件下式减上式,得令10/2/2021同济高等数学课件两边同乘n!=整数+假设e为有理数(p,q为正整数)
8、,则当时,等式左边为整数;矛盾!2.证明e为无理数.证:时,当故e为无理数.等式右边不可能为整数.10/2/2021同济高等数学课件
