概率论与数理统计 第3版 教学课件 作者 范玉妹 电子课件 第四章 随机变量的数字特征第一节数学期望.ppt

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1、第四章知识结构图随机变量的数字特征数学期望方差矩与协方差矩阵一维随机变量的数学期望二维随机变量的数学期望一维随机变量的方差二维随机变量的方差离散型连续型连续型离散型相关系数与协方差第四章随机变量的数字特征问题的引出引例.某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量。现若统计100天得：解：32天没有出废品;30天每天出一件废品；17天每天出两件废品；21天每天出三件废品;第一节数学期望问：如何定义X的平均值？于是，可以得到这100天中每天的平均废品数为：这个数能否作为

2、X的平均值呢？若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.若统计n天,(假定小张每天至多出三件废品)显然：一般，得：n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.32天没有出废品;30天每天出一件废品；17天每天出两件废品；21天每天出三件废品;可以得到n天中每天的平均废品数为：这是以频率为权的加权平均由频率和概率的关系在求废品数X的平均值时，用概率代替

3、频率，得平均值(一个确定的数)为：这是以概率为权的加权平均用这个数作为随机变量X的平均值是否合理？现问：这是频率则对X作一系列观察(试验)，所得X的试验值的平均值也是随机的。以概率为权的加权平均值作为随机变量X的平均值是合理的但是，如果试验次数很大，出现Xk的频率会接近于pk，于是可期望试验值的平均值接近于：注意到：由此：对于一个随机变量X，若它可能取的值是：相应的概率为p1,p2,…,设X是离散型随机变量，它的分布律为:P(X=Xk)=pk,k=1,2,…离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛

4、的级数的和如果级数绝对收敛，1.定义1一.离散型随机变量的数学期望的和为随机变量X的数学期望，记为：则称此级数▲是个(实)数。故常称为X的均值；▲▲的计算：若不绝对收敛，▲推广到二维：为联合分布律注形式上是X的可能取值的加权平均值；本质上体现了X的真正的平均，个质点系的重心坐标。物理上表示了一当X的可能取值为有限时，则计算有穷和；当X的可能取值为无限时，则计算级数的和。则称不存在解:某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门，若每把钥匙试开一次

5、后除去。设试开次数为X，则：P(X=k)=E(X)于是，由数学期望的定义得：例1求：打开门时试开次数的数学期望.2.几种常见分布的数学期望它的分布律为:若随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律为:则：(1)分布即(2)二项分布即:设随机变量X服从参数为的二项分布，则：时即:令:(3)泊松分布若随机变量X的所有可能取值为：而它的分布律(它所取值的各个概率)为：即:则:即:展开式例2.某银行信贷部门对前来申请贷款的两个企业进行调查，对其产品在市场上畅销、适销和滞销三种状况的盈利额和相应的概率作了如

6、下估计：甲企业:乙企业:产品盈利额概率（万元）畅销适销滞销5030--200.150.60.25产品盈利额概率（万元）畅销适销滞销6036--400.10.60.3问:当其它条件均相同时，信贷部门应先批准哪个企业的贷款更为稳妥？解：当其它条件均相同时，应考查两个企业盈利额的平均值的情况。故分别求其数学期望：（万元）（万元）甲企业的经济效益高于乙企业，所以信贷部门应先批准甲企业的贷款更为稳妥。由此可见，设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0

7、区间[xi,xi+1)的概率是：小区间[xi,xi+1)阴影面积近似为二.连续性随机变量的数学期望1.连续型随机变量数学期望的定义连续型随机变量的数学期望的引出由于xi与xi+1很接近,所以区间[xi,xi+1)中的值可以用xi来近似代替.这正是的渐近和式.变量近似，因此X与以概率取值xi的离散型随机的数学期望为：阴影面积近似为小区间[xi,xi+1)注意到该离散型随机变量由此启发引进如下定义2.设X是连续型随机变量，其概率密度函数为连续型随机变量X的数学期望，记为：连续型随机变量的数学期望是一

8、个绝对收敛的积分.定义2则称此积分的值绝对收敛，如果积分:为f(x)，例3.▲▲连续型随机变量的数学期望的相关注记同离散型随机变量(略)推广到二维:为联合概率密度设某系统L有三种联接方式，其寿命Z是随机变量，现已知这三种联接方式各自寿命的概率密度分别为：注(串联)(并联)(备用)求：这三种联接方式中哪种方式的平均寿命最长解：依题意，当时其数学期望分别为：显然：所以得：在备用的联接方式下其寿命最长2.几种常见分布的数学期望则：(1).均匀分布若连续型随机变量X具有概率密度f(x)为：即即:(2).