概率论与数理统计 第3版 教学课件 作者 范玉妹 电子课件 第七章 参数估计第一节点估计.ppt

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1、第六章----第八章知识结构图数理统计抽样分布统计推断常用的统计量四个重要分布参数估计假设检验正态总体的样本均值与方差的分布(重要统计量的分布)矩估计法点估计区间估计极大似然估计法均值的区间估计方差的区间估计均值的检验方差的检验单个总体两个总体正态总体总体样本统计量描述作出推断研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质.随机抽样第七章参数估计利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.估计废品率：估计新生儿的体重：估计湖中鱼数……估计降雨量在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数.参数估计问题:例如：这类问题称为参数

2、估计.参数估计问题的一般提法X1,X2,…,Xn其中为未知参数(可以是向量)。现从该设有一个总体X，总体的分布函数为总体抽样，得样本：所研究的问题：参数估计问题的分类参数估计点估计区间估计要依据该样本对参数作出估计，或估计的某个未知的函数则估计为1.68-----这是点估计问题。估计在区间[1.57,1.84]内----这是区间估计问题现要估计某班男生的平均身高。假定身高服从正态分布现从该总体选取容量为5的样本，所研究的问题是要根据选出的样本（5个数）求出总体均值的估计。例如而全部信息就由这5个数组成。设这5个数是：1.65，1.67，1.68，1.78，1.69解决问题：总体X的分布函数

3、的形式已知，但它的一个或多个参数未知，根据总体X的一个样本来估计总体未知参数或对总体未知参数作出一个估计。一.估计量的定义定义：第一节点估计称为的估计量。设为总体X的分布函数中的待估计的参数,是总体X的一个样本，用构成的一个统计量：则为的估计值.二.构造统计量的方法1.矩估计法(数字特征法)用样本的各阶矩来估计总体的各阶矩.的一组样本值为：如果矩估计法是由统计学家卡.皮尔逊（K.Pearson）在19世纪末引入的。矩是描写随机变量最简单的数字特征，由大数定律可知，在一定条件下可以用样本的矩作为总体矩的估计.故得矩估计法的基本思想：矩估计法的具体步骤设总体X的分布函数中含有个未知参数，存在，

4、则可通过下列步骤求未知参数的矩估计量:(1)求总体X的前阶矩若总体X是离散型随机变量，其分布律为：则：假定总体X的前阶矩则：总之，是参数的函数，记为：若总体X是连续型随机变量，其密度函数为：(2)由（*）式解出为：(3)用的估计量分别代替（**）中的则得的矩估计量▲上述计算步骤对阶中心矩也是成立的。▲矩估计法的优缺点：矩估计法并不要求知道总体分布的具体形式就能对总体的数字特征作出估计矩估计法要求总体的矩存在，若总体的矩不存在则矩估计法失效；优点：缺点：对某些总体的参数矩估计量不唯一，这在应用时会带来不利；对某些总体的参数矩估计量有时不合理.矩估计法只是利用了矩的信息而没有充分利用总体分布函

5、数的信息;注展开为不超过总体阶原点矩的函数。因为阶中心矩总可以通过展开的方法例1.设总体X的均值为方差为都存在，且是总体X的一个样本(2).当总体(某种灯泡寿命)，未知，今取4只灯泡，测得其寿命（小时）如下：1502,1453,1367,1650（小时）求：的矩估计值(1).均未知,求:的矩估计量解:总体X的数学期望是X的一阶原点矩；总体X的方差是X的二阶中心矩。(1).现令一阶样本原点矩二阶样本原点矩即解之得:解之得:从而得的矩估计量为：不论总体服从什么分布，总体均值与方差的矩估计量的表达式是相同的结论：(2).某种灯泡寿命的均值与方差的矩估计值分布为:设X1,X2,…Xn是取自总体X的

6、一个样本，其概率密度为：其中为未知参数，例2.求：的矩估计量.由密度函数可知：具有均值为的指数分布，解:故有：即：令：用样本矩估计总体矩解得：即为总体参数的矩估计量2.极大似然法极大似然法是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法。它首先是由德国数学家高斯（Gauss）在1821年提出的。Fisher然而，这个方法常归功于英国统计学家费歇（Fisher），费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质。Gauss极大似然法的基本思想引例若某位同学与一位猎人一起外出打猎。试推测：这是谁打中的呢？因为只发一枪便打中，猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率。于是可推测这一

7、枪是猎人射中的.一只野兔从前方窜过，只听一声枪响，野兔应声倒下。引例体现了极大似然法的基本思想：当试验中得到一个结果时，应选择使得这个试验结果出现的概率达到最大的这个值作为参数的估计值注定义:作似然函数：(1).极大似然估计量的定义是相应于样本的一组样本值。其中：设总体X的概率密度函数为或分布律为为未知参数。或又设使得似然函数L达到极大值的或称为参数的极大似然估计值，记为：为参数的极大似然估计量.(它与样本值有关)，记统