概率论与数理统计 第3版 教学课件 作者 范玉妹 电子课件 第二章 一维随机变量及其分布第四节连续型随机变量及其概率密度函数.ppt

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1、第二章知识结构图随机变量分布律分布函数函数的分布概率密度离散型随机变量分布函数函数的分布连续型随机变量定义常用分布定义常用分布一.连续型随机变量的概率密度则称X为连续型变量，第四节连续型随机变量及其概率密度1.定义连续型随机变量与离散型随机变量的区别▲离散型：连续型：若对于随机变量X的分布函数，存在非负函数，使得对于任意实数有:为X的概率密度函数注[证]:让“交”往方向“挤”证法1证法2当时，两边取极限：任取并给以增量这个结论的意义:(不可能的事件的概率为0),但概率为零的事不一定是不可能事件.▲(1).从积

2、分的几何意义上说，当底边缩为一点时,曲边梯形面积退化为零。▲(2).由此可知连续型随机量在某区间上取值的概率只与区间长度有关，而与区间是闭、开、半开半闭无关，即有:注2.概率密度函数的性质这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某随机变量X的概率密度函数的充要条件.f(x)xo面积为1性质1性质2几何意义:性质3物理意义:性质4若在点处连续，则有：故X的密度f(x)在x点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.故称f(x)为概率密度函数。如果把概率理解为质量，则f(x)相当于线密度，不计高阶无穷小(

3、相当于积分中值定理)这表示落在区间上的概率近似等于，称为概率微分。注的值的大小直接影响关系到概率的大小，所以的确描述了连续型随机变量的概率分布的情况。证明：函数是一个连续型随机变量的概率密度函数.例1.证明：(1).显然,(2).一般只需验证性质中的这两条即可.所以得证某电子计算机在毁坏前运行的总时间(单位:小时)是一个连续型随机变量，其密度函数为:(2).这台计算机在毁坏前能运行50到150小时的概率.(3).运行时间少于100小时的概率.例2.求:(1).解:(1)(2)50到150小时的概率少于100小

4、时的概率(3)(1)(2)一般称:则称X为服从参数的指数分布.(3)若X具有概率密度:f(x)确定了分布函数F(x)，f(x)是F(x)的导函数，F(x)是f(x)的一个原函数定义:二.连续型随机变量的分布函数若定义在上的可积函数满足：则称为连续型随机变量的分布函数.可以验证F(x)具备了分布函数的性质:(3)是右连续的。(1)是不减的函数；注设有函数F(x)如下:函数F(x)在上下降，或者:故:F(x)不能成为某个连续型随机变量的分布函数.例3问:即不满足性质(2).解：注意到:能否成为某个连续型随机变量的

5、分布函数.即不满足性质(1).解：它是一个变上限的广义积分(2)(1)X的分布函数例4.(1)求:综合上述得:(2).当时解:求:F(x)设连续型随机变量X的密度函数为f(x)例5.当时,当即得所求的分布函数为:当时，设随机变量X的分布函数为：求X取值在区间(0.3,0.7)的概率；(2)求X的概率密度.(1)P(0.3

6、的分布若连续型随机变量X具有概率密度f(x)为：1.均匀分布则称X在区间(a,b)上服从均匀分布.▲易证满足：注(或等概率分布)若抽取其概率的背景，f(x)是一种的函数的图形：▲X落在区间(a,b)中任意等长度的子区间的可能性是相同的，即它落在子区间的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关.服从均匀分布的随机变量具有如下性质:▲0x[证]:即X落在(c,d)内的概率只与(c,d)的长度有关,而与(c,d)在(a,b)中的位置无关.均匀分布常见于下列情形：比如:在数值计算中，由于四舍五入,小数点后某一位小

7、数引入的误差；公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.由分布函数定义可得：若X服从均匀分布，则X的分布函数为:图形:▲某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30,7:45等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量(1)乘客候车时间少于5分钟的概率(2)乘客候车时间超过10分钟的概率例7.试求：解：X～U(0,30)设以7:00为起点0，以分为单位为使候车时间X少于5分钟，从上午7时起，每15分钟来一班车，即

8、7:00，7:15，7:307:45等时刻有汽车到达站故所求概率为：依题意，(1)之间到达车站.或在7:25到7:30乘客必须在7:10到7:15之间，(2)为使候车时间X不少于10分钟，故所求概率为：或在7:15到7:20之间到达车站.乘客必须在7:00到7:05之间，从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:307:45等时刻有汽车到达站2.指数分布若连续型随机变量X具有概率密