线性代数 修订版 教学课件 作者 董晓波 电子课件 第四章4.2 特征值与特征向量.ppt

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1、特征值与特征向量§4.2一、特征值与特征向量的概念引例设有即一个矩阵与一个列向量的乘积恰好等于某个数与这个列向量的乘积.定义设是阶方阵,若存在数和维非零列量使成立,则称为方阵的特征值,非零向量称为方阵的对应于特征值的特征向量.二、特征值与特征向量的求法即为对应于的设为方阵的特征值,特征向量,由定义有也就是说含个未知数个方程的齐次线性方程组有非零解,而其充要条件为系数行列式为零,即上式是以为未知数的一元次方程,称为方阵的特征方程.特征方程左端是的次多项式,记作即称为方阵的特征多项式.显然,特征值就是特征方程的解.由代数基

2、本定理,在复数范围内,一元次代数方程必有个解(其中可能有重解和复数解).因此,的特征值有个.设为方阵的一个特征值,若由方程求得非零解则即为的对应于特征值的特征向量.求特征值及对应特征向量的步骤(1)计算特征多项式(2)求出特征方程的全部解,即为的全部特征值;(3)对每一个特征值求出对应的特征向量,即先求出齐次线性方程组的一个基础解系则对应的全部特征向量为其中是不全为零的常数.解例求的特征值和特征向量.的特征多项式为所以的特征值为当时,解方程组即解得所以对应的特征向量可取为对应于的全部特征向量为当时,解方程组即解得所以对

3、应的特征向量可取为对应于的全部特征向量为解例求的特征值和特征向量.的特征多项式为所以的特征值为当时,解方程组由是对应于的全部特征向量.得基础解系为所以当时,解方程组即所以得基础解系为是对应于的全部特征向量.解例求的特征值和特征向量.的特征多项式为所以的特征值为当时,解方程组由得基础解系为全部特征向量为所以对应于的当时,解方程组由所以对应于的全部特征向量为得基础解系为(不同时为零).三、特征值和特征向量的性质性质1为的特征值,设阶方阵则:证明(1)根据多项式因式分解与方程根的关系,有如下恒等式:以代入即得(2)由比较上式

4、两边项的系数,将右端展开,则的系数为由行列式定义,左端含的项必来自于对角元的乘积项故的系数是因恒等式两边同次幂的系数必相等,从而得性质2设为可逆方阵,为的特征值,则:是的特征值.证明(1)由性质1,方阵的行列式为其全部特征值的乘积.又若为可逆方阵,则其行列式不等于零,因此,其任何特征值都不能为零.(2)可逆,故存在,又由(1),故性质3证明则是的特征值.若设为方阵的特征值,则:是的特征值性质4若是的特征值.是的特征值设为方阵的特征值,且可逆,则:则证明(1)结合性质2和性质3即得.(2)因为所以例已知3阶方阵的特征值为

5、1,2,-3,解令由性质1可知,则可逆,且从而因此又1,2,-3是可逆方阵的特征值,由性质4得求是的全部特征值,再由性质1得定理设是的个特征值,依次是与之对应的特征向量,如果各不相等,则线性无关.证明设有常数使得则即再以左乘上式,依次类推,有把上列各式合写成矩阵的形式,就是上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式的转置,故而当各不相等时,该行列式不等于零,从而该矩阵可逆,于是即由于特征向量所以从而向量组线性无关.例(1)设阶方阵满足则的特征值为1或0.(1)设阶方阵满足则的特征值为1或-1.证明设为的特征值,则存在

6、非零向量使(1)因为所以故即又所以或(2)因为所以故即又所以求矩阵特征值与特征向量的步骤:小结(1)计算特征多项式(2)求出特征方程的全部解即为的全部特征值;(3)对于特征值求齐次方程组的非零解,就是对应于的特征向量.1.属于不同特征值的特征向量是线性无关的.2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值仍是属于这个特征值的特征向量.一个特征向量不能属于不同的特征值.而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一;

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