线性代数 修订版 教学课件 作者 董晓波 电子课件 第三章3.4 向量组的线性相关性.ppt

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1、向量组的线性相关性§3.43.4.1线性相关与线性无关定义给定向量组若存在不全为零的数使则称向量组线性相关；若当且仅当时上式才成立，则称向量组线性无关.注：任一向量组，不是线性相关就是线性无关.例如线性相关.因为线性无关.因为若则从而因此线性无关.特别的对于一个向量当且仅当时线性相关；当且仅当时线性无关.对于两个向量，向量组线性相关当且仅当的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线.定理则向量组线性相关的充要条件是证明由定义，向量组线性相关，即存在不全为零的设向量组构成的矩阵为向量组线性无关的充要条件是数使得即方程组有

2、非零解，当且仅当又共有列，从而因此向量组线性无关的充要条件是推论证明个维向量线性相关的充要条件是它所构成的方阵的行列式线性无关的充要条件是向量组线性相关向量组线性无关向量组的线性相关性与齐次线性方程组的解及矩阵的秩三者之间的联系.它所构成的方阵为设个维向量向量组线性相关齐次线性方程组有非零解不可逆（线性无关）（只有零解）（可逆）例如维单位坐标向量组必线性无关因为是单位阵而例给定向量组试讨论它的线性相关性.解法一对向量组的矩阵施行初等行变换，将其化成行阶梯形：可见从而向量组线性无关.解法二由于向量组的矩阵为方阵，而可知

3、向量组线性无关.解法三即对应的齐次线性方程组其系数行列式利用定义，设有数使得因此齐次线性方程组只有零解，故向量组线性无关.例证法一已知向量组线性无关，证明向量组线性无关.即利用定义，设有数使得亦即因为向量组线性无关，所以即计算故齐次线性方程组只有零解则向量组线性无关.证法二因为向量组线性无关，所以向量组的矩阵的秩由已知条件，即其中计算得因此可逆，从而所以向量组线性无关.证法三由证法二得设即亦即所以又因为知方程只有零解，即所以向量组线性无关.列向量组线性无关，因为矩阵由线性无关定义，有3.4.2线性相关性的有关性质性质

4、1包含零向量的任何向量组线性相关.设向量组其中取有性质2个维向量组成的向量组，当(即向量个数大于维数)时必线性相关.特别地，任意个维向量组成的向量组必线性相关.组必线性相关.部分相关则整体相关整体无关则部分无关性质3若向量组线性相关，则向量反之，若向量组线性无关，则向量组也线性无关.若向量组线性无关，则向量则向量组也线性相关.性质4设组也线性无关.反之，若向量组线性相关，例讨论向量组的线性相关性.解将删去第4个分量，成为向量组易见线性无关，由性质4知线性无关.也可用定义讨论向量组线性相关的定理3.4.3线性表示、线性

5、相关、线性无关三者之间关系个向量线性表示.充要条件是其中至少有一个向量可由其余逆否命题向量组线性无关的个向量线性表示.充要条件是其中任一个向量都不可能其余向量组线性相关不注：能得出其中任一向量均可由其余个向量线性表示.如定理设向量组线性无关，则向量组线性相关的充要条件是向量能由向量组线性表示，且表示式唯一.例设向量组线性相关，向量组线性无关，证明：（1）能由线性表示；（2）不能由线性表示.解（1）因向量组线性无关，由性质3知线性无关，而向量组线性相关，因此能由线性表示.线性表示，与向量组线性无关矛盾，（2）用反证法，

6、设能由线性表示，又由（1）可知能由线性表示，则能由所以不能由线性表示.