线性代数 修订版 教学课件 作者 董晓波 电子课件 第二章2.6 矩阵的秩.ppt

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1、矩阵的秩§2.62.6.1秩的定义定义记作.矩阵的秩.最高阶非零子式的阶数称为定义矩阵中，若存在不等于0的阶子式，所有的级子式（如果存在的话）全等于0，则称这个阶非零子式为矩阵的最高阶非零子式。记为秩或.规定当时，矩阵A的秩是唯一的！例1解定义设为矩阵，若，则称矩阵为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵．可逆(非奇异)矩阵一定是满秩矩阵不可逆(奇异)矩阵一定是降秩矩阵定理6证由秩的定义，是的非零子式的最高阶数，所以即对阶方阵，由定理，显然有.定理7证令，则矩阵有最高阶非零子式并且任意阶子式而分别是的阶子式和阶子式，且则是

2、的最高阶非零子式，所以定理8证由§2.5定理5，可逆的充要条件为下面只要证的充要条件为即可.先证必要性.由于阶方阵的秩为最高阶非零子式的阶数，而阶方阵最高阶子式为其阶数为，所以反之，若则阶方阵存在一个阶子式不为零，由于为阶方阵，因此为阶方阵，必有再由上述定理知，例2解2.6.2矩阵秩的求法计算的3阶子式，例3解定理上述定理给出了求矩阵的秩的又一方法，只要用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩．同理，也可用初等列变换求矩阵的秩．例4解第一章中，曾经给出任意阶矩阵等价于一个所以标

3、准形是唯一的.矩阵由上述定理可知，中数就是矩阵的秩，即矩阵的标准形由完全确定，矩阵秩的性质定理若存在可逆矩阵，使，则证若存在可逆矩阵，使，则有再由等价矩阵具有相同的秩可知，保持它们的原来顺序，可构成一个新的同行矩阵，若为行数相同的矩阵，则以为子块，这个矩阵记为对矩阵显而易见因此，定理特别当为非零列向量时，有证子式，所以同理有因此有因为的最高阶非零子式总是的非零现设把和分别作初等列变换，化为列阶梯形矩阵和，则和中分别含有个非零列，故可设从而由于中只含个非零列，因此而故即当为非零列向量时，则有定理证设为矩阵，对矩阵

4、作列变换则于是，定理其证明见§3.2.定理其证明见§3.6.例5证设为阶方阵，且，证明由得到由前述定理另一方面，所以从而