振动理论及工程应用 第2版 教学课件 作者 刘习军8 第八章 振动分析的有限元法.ppt

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1、第8章振动分析的有限元法有限元法是力学模型系统上近似的数值计算方法。它先将要分析的工程结构模型，假想地分割成有限个单元，组成离散化模型。各个单元之间在单元的外节点处互相连接起来。然后导出各单元体的运动方程，然后由各个单元的运动方程组合而形成原工程结构的有限元运动方程。有限元法中分析的结构，是一个由有限个单元组成的与原结构非常接近的离散系统。计算所得结果的精确程度取决于单元体的划分。有限元计算的基本过程：（1）将结构离散化，即把结构划分成离散的单元。（2）考虑单元的性质，建立单元的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵、载荷矩阵，推导出单元体的运动方程式。（3）组合各单元的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵，

2、得到整个离散系统的运动方程。（4）解特征方程，求出频率与振型。（5）求解动力响应问题。有限元法中采用的单元类型很多，其形状、大小可以变化，各单元互相之间也容易连接，因此它能适应复杂的结构，也适用于各种不同的边界条件。有限元法中的分析顺序是比较固定的，因此便于计算机计算，并有标准程序和通用程序。取一单元体，设单元体的动能为T，应变能为U，阻尼消耗的能量为Wd，外力的势能为We。建立拉格朗日函数为8.1单元体的运动方程式设q为单元体中任一点的位移矢量，qe为单元体上各节点的位移矢量，它是时间t的函数。令单元体中任一点的位移矢量q用单元体上各节点的位移矢量qe表示为式中N为形函数矩阵，它是坐标x、

3、y、z的函数。式中u(t)、v(t)、w(t)分别表示该点沿x、y、z方向的位移，它们都是时间t的函数。单元体中任一点的位移矢量q又可表示为式中r为单元体积的质量单元体的动能为单元体中任一点的速度矢量可表示为D为应力应变关系矩阵，又称为弹性矩阵，所以单元体的应变能为由弹性力学公式，应变与位移的关系为式中B为应变位移关系矩阵，是几何矩阵，与t无关。单元体上的应力为设单元体振动时，阻尼系数为c，则阻尼力为。单元体上阻尼力所消耗的能量Wd为单元体上所受的外力分为两部分，即体积力FV和表面力FS。它们的势能分别为拉格朗日函数由哈密尔顿原理，将其在时间区间(t1,t2)上对L积分，并使其变分等于零，

4、考虑到D的对称性后，有式中qe(t1)=0，qe(t2)=0，则只剩下第二项。应用分步积分公式，上式的第二项有用同样的方法可得到令于是变分式成为由于单元位移的变分是任取的，所以可由式得到单元的运动方程为由此得到Keq、Meq、Ceq、Feq分别表示单元体的刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵和载荷矩阵8.2单元体的特性分析在有限元中，形函数的作用十分重要，因为单元形状和相应的形函数确定以后，其它运算可依照标准步骤和普遍公式进行。单元上任一点的位移用节点的位移表示为8.2.1形函数矩阵N用u、v、w表示一点在空间沿x、y、z方向的位移式中Ni为形函数，ui、vi、wi是第i个节点的位移。形函数Ni

5、是单元内部坐标的连续函数，它所满足的条件是：(1)在节点i处，Ni=1;(2)在其它节点处，Ni=0;(3)满足∑Ni=1。用它定义的未知量u、v、w保证了相邻单元间的连续性。为了保证收敛于精确解，形函数应包含任意线性项和使单元包含有常应变状态和刚体位移。单元的形状越复杂，形函数的阶次就越高，单元适应能力就越强。形函数矩阵为写成矩阵形式于是得到形函数的边界条件在一维单元中，有二个节点，节点的位移为u1(t)u2(t)。设单元上距1点距离为x点的位移为式中N1(x)、N2(x)为形函数也称为插值函数，它们应使点的位移满足单元的边界条件，即满足∑Ni=1。所以对于一维单元，形函数矩阵为设形函数N

6、i（x）=ai+bix，包含常数项和线性项。将边界条件代入可得形函数是用局部坐标在单元中定义的。对于二维单元（，），正方形单元有4个节点，经推导可得其形函数为引入新的变量0=i，0=i。其中i、i为节点i的坐标，于是上面的四个形函数可合并表示为（i=1，2，3，4）对于三维单元（，，），正六面体，将坐标原点取在单元形心上，单元边界是六个平面=±1，=±1，=±1，单元有8个节点，经推导可得其形函数为（i=1，2，3，4，5，6，7，8）对于其它单元的形函数可参阅有关书籍。8.2.2应变位移关系矩阵B将位移函数矩阵表达式，代入由弹性力学的应变与位移的关系其中子矩

7、阵为可得到决定了应变与形函数之间的关系对于一维单元，可求得B为即其中E为弹性模量，G为剪切弹性模量，为泊松比8.2.3弹性矩阵D材料力学中的广义虎克定律剪应变与剪应力的关系为写成矩阵形式对于平面应力问题，z=xz=yz=0，可得到应力与应变的弹性方程平面应力问题的弹性矩阵为平面应变问题的弹性矩阵为可得到单元体的运动方程式将以上推导的形函数矩阵N，应变与位移的关系矩阵B，弹性矩阵D代入以下有关方程计算的