振动理论及工程应用 第2版 教学课件 作者 刘习军5 第五章 多自由度系统的近似计算方法.ppt

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1、5.1瑞利能量法5.2里兹法5.3邓克莱法5.4矩阵迭代法5.5子空间迭代法5.6传递矩阵法第5章多自由度系统的数值计算方法5.1瑞利(Rayleigh)能量法设A为振型矢量，M和K分别为系统的质量矩阵和刚度矩阵。对于简谐振动，其最大动能和最大势能为对于保守系统，由能量守恒，则有解得若A是系统的第i阶主振型A(i)，则得相应的主频率的平方若A是任意的n维矢量，则可得称为瑞利商为了区别用位移方程求得的值，又称之为瑞利第一商。瑞利商的平方根是基频p1的近似值。假设振型越接近于真实的第一阶振型，则结果越准确。通常，以系统的静变形作为假设振型，

2、可以得到较满意的结果。用瑞利法求出的基频近似值大于实际的基频p1。这是由于假设振型偏离了第一阶振型，相当于给系统增加了约束，因而增加了刚度，使求得的结果高于真实的值。由于＞1如果采用位移方程描述系统的运动微分方程，即前乘以同理，若A是任意的n矢量，则有称为瑞利第二商若假设振型接近于第一阶主振型时，则是基频的近似值给出同样假设振型的同一振动系统，用瑞利第二商计算的结果，要比用瑞利第一商计算的结果更精确一些。例5-1用瑞利法求图示三自由度扭转系统的第一阶固有频率的估值。已知k1=k2=k3=k；I1=I2=I3=I。解：系统的质量矩阵和刚度

3、矩阵为逆矩阵计算得求第一阶固有频率的估值，取假设振型在上面的计算中，假设振型比较“粗糙”，与该系统的第一阶固有频率，精确到第四位值的比较误差较大。如果进一步改进假设振型，即以静变形曲线为假设振型，设显然，在工程上，若以静变形曲线作为假设振型，可以得到很好的第一阶固有频率的近似值。用瑞利法估算的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程度，而且其值总是精确值的上限。里兹法对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基频值进一步下降，并且还可得系统较低的前几阶固有频率及相应的主振型在里兹法中，系统的近似主振型假设为是选取的s个线性独立的假

4、设振型矩阵s维待定系数5.2里兹(Ritz)法由于在系统的真实主振型处取驻值，这些驻值即相应的各阶固有频率的平方，所以a的各元素由下式确定n个自由度缩减至s自由度。刚度矩阵质量矩阵里兹法是一种缩减系统自由度数的近似方法。频率方程求出s个固有频率，即n自由度系统的前s阶固有频率。解出其相应的特征矢量求出n自由度系统的前s阶主振型正交性对于瑞利第二商利用驻值条件可得s个方程，将其写成矩阵形式特征方程求出s个固有频率，即n自由度系统的前s阶固有频率。解出其相应的特征矢量求出n自由度系统的前s阶主振型例5-2用里兹法求图示四自由度振动系统的前二

5、阶固有频率及主振型。解：由条件可求出系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵设振型求出求出2个固有频率，即4自由度系统的前4阶固有频率。求出系统的前二阶主振型邓克莱法是求多圆盘的轴的横向振动系统基频近似值的一种方法。当其它各阶频率远远高于基频时，利用此法估算基频较为方便。由表示位移方程得到的频率方程，即并展开得令根为式又可写成各因式连乘积的形式，即展开得5.3邓克莱(Dunkerley)法比较，得到若基频p1远低于高阶频率，即kii是第i个质量产生单位位移时，在第i个质量上所需加的力。称为邓克莱公式。由于略去了高阶频率的成分，所以求得的基频总

6、是低于精确值。pii表示只有mi存在时，系统的固有频率。例5-3用邓克莱公式计算例5-1中的三圆盘转轴系统的基频。解：由例5-1所解可知显然用邓克莱法求基频十分方便，但误差较大，故仅适用于初步估算。矩阵迭代法，亦称振型迭代法是采用逐步逼近的方法来确定系统的主振型和频率。系统的动力矩阵求系统的基频时，矩阵迭代法用的基本方程是由位移方程，即用动力矩阵D前乘以假设振型A0，然后归一化，可得A1，即矩阵迭代法的过程是：（1）选取某个经过归一化的假设振型A05.4矩阵迭代法（2）如果，就再以A1为假设振型进行迭代，并且归一化得到A2，（3）若，则

7、继续重复上述迭代步骤，得直至时停止第一阶主振型可以看出：尽管开始假设的振型不理想，它包含了各阶主振型，而且第一阶主振型在其中所占的分量不是很大。但在迭代过程中，高阶振型的分量逐渐衰减，低阶振型的分量逐渐增强，最终收敛于第一阶主振型。假设振型越接近A(1)则迭代过程快；假设振型与A(1)相差较大则迭代过程收敛的慢，但最终仍然得到基频和第一阶主振型。如果在整个迭代过程中，第一阶主振型的分量始终为零，则收敛于第二阶主振型；如果前s阶主振型的分量为零，则收敛于第s+1阶主振型。应当指出，若用作用力方程进行迭代，则收敛于最高固有频率和最高阶主振型

8、。例5-4用矩阵迭代法求例5-1所示系统的第一阶固有频率及振型。解：由例5-1中计算的结果可得到动力矩阵取初始假设振型进行迭代，经过第一次迭代后，得第二次迭代继续迭代下去与之对应的第一阶主振型为当需用矩阵迭