振动理论及工程应用 第2版 教学课件 作者 刘习军3 第三章 两自由度系统的振动.ppt

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1、2.1两自由度系统的自由振动2.2两自由度系统的受迫振动3.3坐标的耦联4.4拍振第三章两自由度系统的振动一个振动系统究竟简化成几个自由度系统的振动模型，要根据系统的结构特点和所研究的问题来决定。工程中有很多实际问题必须简化成两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。1两自由度系统的自由振动简化成二个自由度例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动自由振动微分方程由牛顿第二定律得两自由度的弹簧质量系统。两物体均作直线平移，略去摩擦力及其它阻尼。分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取x1、x2为广义坐标，k3x2k1k2k33.1.1运动微分方程质量矩阵刚度矩阵加速度列阵

2、坐标列阵根据微分方程的理论，设方程的解为3.1.2频率方程系数行列式等于零这就是两自由度系统的频率方程，也称特征方程即展式为特征方程可写为特征方程的两组特征根设特征根正值小于是两个大于零的不相等的正实根p1、p2就是系统的自由振动频率，即固有频率。较低的频率p1称为第一阶固有频率；较高的频率p2称为第二阶固有频率。由式看出，固有频率p1、p2与运动的初始条件无关，仅与振动系统固有频率的物理特性，即物体的质量、弹性元件的刚度有关。第一主振动第二主振动将第一固有频率p1代入3.1.3主振型将第二固有频率p2代入第二阶主振型第一阶主振型将第一、第二阶固有频率分别代入得振幅比根据微分方程理论

3、，两自由度系统的自由振动微分方程的通解，是它的两个主振动的线性组合，即由运动的初始条件确定。写成矩阵形式3.1.4方程的解例3-1试求图示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知m1=m2=m,k1=k3=k,k2=4k，再求该系统对以下两组初始条件的响应：（1）t＝0，x10＝1cm，x20＝0,（2）t＝0，x10＝1cm，x20＝-1cm,MechanicalandStructuralVibrationk1k2k3解：（1）建立运动微分方程式k1k2k3k3x2质量矩阵刚度矩阵矩阵形式将M和K代入频率方程系统的第一阶和第二阶固有频率为（2）解频率方程，求pi将、分别代入，得（

4、3）求主振型主振型为振幅比为(4)将初始条件（1）代入式，解得得这表明，其响应为频率p1、p2的两种主振动的线性组合。这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因此，系统按第二主振型以频率p2作谐振动。(5)同理，再将初始条件（2）代入式t＝0，x10＝1cm，x20＝-1cm,3.2两自由度系统的受迫振动k3x2若两个物块受到激振力的作用列出该系统的受迫振动微分方程，其矩阵形式为质量矩阵刚度矩阵为简谐激振力的幅值列阵，为激振频率系统的稳态响应。设特解为引入记号得到关于振幅B1、B2的非齐次代数方程组为此式的展式为式中由此解出受迫振动的振幅其中p1、p2为系统的两个固有频率结

5、论：在简谐干扰力作用下，两自由度无阻尼的线性振动系统的受迫振动是以干扰力频率为其频率的简谐振动。受迫振动的振幅大小不仅和干扰力的幅值大小F1、F2有关，而且和干扰力的频率有关。特别是当＝p1或＝p2时，即当干扰力的频率等于振动系统的固有频率时，振幅B1、B2将会无限地增大，发生共振。与单自由度振动系统不同，两自由度系统一般有两个固有频率，因此，可能出现两次共振。其中两个质点的运动互相不独立，它们彼此受另一个质点的运动的影响。这种质点或质点系的运动相互影响的现象叫做耦联。表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式中时，就称这些坐标之间存在静力耦联或弹性耦联。当一个微分方程式

6、中出现两个以上的加速度项时，称为在坐标之间有动力耦联或质量耦联.3.3坐标的耦联静力与动力耦联x1Cl1l2Cmgl系统中是否存在耦联取决于用以表示运动的坐标的选择，而与系统本身的特性无关。一般说来，为了表示多质点系的运动状态，可以选用的独立坐标系，即广义坐标，有多种。根据选择坐标的不同，系统可以是静力耦联、动力耦联、静力与动力耦联、非耦联的（完全无耦联）。经特别选择的、可使方程式写成既无动力耦联又无静力耦联形式的坐标称为主坐标。前面讲到当同一方向两简谐振动合成时，出现拍振的条件是两个简谐分量的频率相差很小。对于两自由度无阻尼的自由振动，即它们的主振动是简谐振动，所以当两个固有频率相

7、差很小时，就可能出现拍振。3.4拍振在振动系统中，如果坐标选择得当，即总是可以使微分方程式中分别只含一个未知数。如果能得到这种独立的运动方程式，则求方程的解就容易多了，可使问题大大简化。以上两个问题以例题形式进行说明。例：图示为两个摆长、质量相同的单摆，中间以弹簧相连，形成两自由度系统。可以证明，当弹簧刚度k很小，在一定的初始条件下，系统将作拍振。取、表示摆的角位移，逆钟向转动为正，每个摆的受力如图。摆的微分方程为得到系统的第一阶和第二阶固有频率为得到系统