周第一次课分块矩阵.ppt

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1、几何与代数主讲:王小六东南大学线性代数课程第二章矩阵第三节分块矩阵回顾行列式的乘法定理定理2.1假设A,B都是n阶方阵,则

2、AB

3、=

4、A

5、·

6、B

7、问题:设.则

8、A100

9、=?A=2351.定义2.6:设A为方阵,若存在方阵B,使得AB=BA=E,则称A可逆(invertible),并称B为A的逆矩阵(inversematrix).A的逆矩阵记为A1.2.逆矩阵的唯一性3.设A是n阶方阵。则(1)A可逆的充分必要条件是

10、A

11、0.(2)当

12、A

13、0且n≥2时,有A1=

14、A

15、1A*.可逆矩阵定义2.7.设A=[aij]nn为方阵(n≥2),元素aij的代数余子式为Aij,则称如下矩阵A*=A

16、11A21…An1A12A22…An2…………A1nA2n…Ann为方阵A的伴随矩阵.可逆矩阵的等价定义:假设A是n阶方阵。若存在n阶方阵B,使得AB=E(或者BA=E),则称A是可逆的,B是A的逆矩阵。回顾结束第二章矩阵§2.2逆矩阵二.逆矩阵的运算性质设A,B为同阶可逆方阵,数k0.则(1)(A1)1=A;(2)(AT)1=(A1)T.(3)(kA)1=k1A1;(4)AB可逆A和B可逆;当AB可逆时,(AB)1=B1A1.例.设A与EA都可逆,G=(EA)1E,求证G也可逆,并求G1.证明:G=(EA)1(EA)1(EA)=(EA)1(

17、E(EA))=(EA)1AG1=A1(EA)=A1E.第二章矩阵§2.2逆矩阵可以表示为Ax=b.则线性方程组x1x2…xn记x=,b1b2…bmb=,A=a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn,三.应用下面讨论A为n阶方阵的情形.第二章矩阵§2.2逆矩阵Cramer法则.若系数行列式D=

18、A

19、0(等价地,A可逆),则线性方程组Ax=b有唯一的解x=A1b.对于n元线性方程组Ax=b比较第一章的结果思考:更一般地,如果n阶矩阵A是可逆阵,B是n×t矩阵,则矩阵方程AX=B有唯一解吗?或者当C是s×n矩阵,矩阵方程YA=C有唯一解吗?X=A

20、1BY=CA1参见教材63页的例2.11.第二章矩阵§2.3分块矩阵一.基本概念1001201045001763210065400§2.3分块矩阵1001201045001763210065400=E3BCO2分块矩阵二.基本运算分块加法A=A11A12…A1rA21A22…A2r…………As1As2…Asr,B=B11B12…B1rB21B22…B2r…………Bs1Bs2…Bsr,A11+B11A12+B12…A1r+B1rA21+B21A22+B22…A2r+B2r…………As1+Bs1As2+Bs2…Asr+Bsr.A+B=第二章矩阵§2.3分块矩阵设矩阵A=A11A12…A1

21、rA21A22…A2r…………As1As2…Asr,为常数.A11A12…A1rA21A22…A2r…………As1As2…Asr.则A=2.分块数乘第二章矩阵§2.3分块矩阵设矩阵A=A11A12…A1rA21A22…A2r…………As1As2…Asr,A11TA21T…As1TA12TA22T…As2T…………A1rTA2rT…AsrT.则AT=3.分块转置第二章矩阵§2.3分块矩阵3.分块乘法设A为ml矩阵,B为ln矩阵,将它们分块如下A=A11A12…A1qA21A22…A2q…………Ap1Ap2…Apq,B=B11B12…B1rB21B22…B2r…………

22、Bq1Bq2…Bqr,其中Ai1,Ai2,…,Aiq的列数分别与B1j,B2j,…,Bqj的行数相等.(i=1,2,…,p;j=1,2,…,r.)C11C12…C1rC21C22…C2r…………Cp1Cp2…Cpr,其中Cij=AikBkj,则AB=k=1q第二章矩阵§2.3分块矩阵k1k2…kqk1k2…kq1010120110411120B=,求AB.1000010012101101例.设A=,解:A=,EOA1EB=,B11EB21B22其中E=,10011211A1=,1012B11=,1011B21=,4120B22=.于是AB=EOA1EB11EB21B22,B

23、11EA1B11+B21A1+B22=第二章矩阵§2.3分块矩阵于是AB=EOA1EB11EB21B22B11EA1B11+B21A1+B22=,而A1B11=121110123402=,A1B11+B21=34021011+A1+B22=12114120+2411=,3331=.B11EA1B11+B21A1+B22从而AB==.1010120124331131第二章

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