2014年全国高中数学联赛辽宁赛区初赛试题.doc

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1、2014年全国高中数学联赛辽宁赛区初赛试题（7月6日8:30至11:00）一．选择题（本题满分30分，每小题5分）1．已知，，，则符合上述条件的共有（）组A．100B．140C．180D．2002．已知集合，并且集合，则与的面积比为（）A．B．C．D．3．已知的三边，，成等比数列，，，的对角依次为，，，则的取值范围是（）A．B．C．D．4．的三个内角为，，，若，则的最大值为（）A．B．C．D．5．正项数列满足，，，，单调递增且成等比数列，为的前项和，则的值是（其中表示不超过实数的最大整数）（）A．5368B

2、．5367C．5363D．53626．设直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面、截球的两个截面圆的半径分别为和，二面角的平面角为，则球的半径为（）A．B．C．D．二．填空题（本题满分30分，每小题5分）7．若非零复数满足，则．8．不等式的解集为．9．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为．10．如图所示，在中，，，，则过点，以，为两焦点

3、的双曲线的离心率为．11．设是由任意100个互不相同的正整数组成的集合，令且，表示集合中元素的个数，则的最大值与最小值之和为．12．抛物线的参数，满足，则当，变动时，抛物线的顶点的轨迹方程为．三．解答题（本题共4道小题，满分90分）13．（本小题满分20分）函数的定义域为，已知时，，并且对任意，都有．（1）讨论函数的奇偶性以及单调性；（2）设集合，，，且，若且，试求实数的取值范围．14．（本小题满分20分）如图，锐角外心为，直线和分别与边，交于点，．直线交外接圆于点，．若，证明：是等腰三角形锐角三角形．15

4、．（本小题满分25分）已知数列中，，对于任意的，有．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的通项公式；（3）设，是否存在实数，当时，恒成立，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．16．（本小题满分25分）已知抛物线，直线与抛物线相交于，两点，连结及抛物线顶点的直线交准线于，连结及的直线交准线于，并且与都平行于轴．（1）证明：直线过定点；（2）求四边形的面积的最小值．