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《2015届高考数学二轮专题训练：专题五第3讲立体几何中的向量方法.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3讲 立体几何中的向量方法考情解读 1.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明，常出现在解答题的第(1)问中，考查空间想象能力，推理论证能力及计算能力，属低中档问题.2.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间角(主要是线面角和二面角)的计算，是高考的必考内容，属中档题.3.以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题．1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方
2、向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α、β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)(以下相同)．(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.2．直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，
3、b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α、β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．(1)线线夹角设l，m的夹角为θ(0≤θ≤)，则cosθ＝＝.(2)线面夹角设直线l与平面α的夹角为θ(0≤θ≤)，则sinθ＝＝
4、cos〈a，μ〉
5、.(3)面面夹角设半平面α、β的夹角为θ(0≤θ≤π)，则
6、cosθ
7、＝＝
8、cos〈μ，v〉
9、.提醒 求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析．3．求空间距离直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离，点P到
10、平面α的距离：d＝(其中n为α的法向量，M为α内任一点).热点一 利用向量证明平行与垂直例1 如图，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．运用向量方法证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.思维启迪 从A点出发的三条直线AB、AD，AE两两垂直，可建立空间直角坐标系．证明 方法一 由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0
11、,1,0)，F(1,0,1)，M，O.(1)＝，＝(－1,0,0)，∴·＝0,∴⊥.∵棱柱ADE—BCF是直三棱柱，∴AB⊥平面BCF，∴是平面BCF的一个法向量，且OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．∵＝(1，－1,1)，＝，＝(1,0,0)，由n1·＝n1·＝0，得解得令x1＝1，则n1＝.同理可得n2＝(0,1,1)．∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.方法二 (1)＝＋＋＝－＋＝(＋)－＋＝－－＋
12、＝－(＋)－＋＝－－.∴向量与向量，共面，又OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.(2)由题意知，BF，BC，BA两两垂直，∵＝，＝－，∴·＝·＝0，·＝·(－)＝－2＋2＝0.∴OM⊥CD，OM⊥FC，又CD∩FC＝C，∴OM⊥平面EFCD.又OM⊂平面MDF，∴平面MDF⊥平面EFCD.思维升华 (1)要证明线面平行，只需证明向量与平面BCF的法向量垂直；另一个思路则是根据共面向量定理证明向量与，共面．(2)要证明面面垂直，只要证明这两个平面的法向量互相垂直；也可根据面面垂直的判定定理证明直线OM垂直于平面EFCD，
13、即证OM垂直于平面EFCD内的两条相交直线，从而转化为证明向量与向量、垂直． 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA＝AB＝2，∠BAD＝60°，E是PA的中点．(1)求证：直线PC∥平面BDE；(2)求证：BD⊥PC；证明 设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，AB＝2，底面ABCD为菱形，所以BO＝1，AO＝CO＝，AC⊥BD.如图，以O为坐标原点，以OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，过点O且平行于PA的直线为z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则P(0，－，2)，A(0，－，
14、0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，E(0，－，1)．(1)设平面BDE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，因为＝(－1，－，1)，＝(－2,0,0)，由得令z1＝，得y1＝1，所以n1＝(0,1，)．又＝(0,2，－2)，所以·n1＝0＋2－2＝0，即⊥n1，又PC⊄平面BDE，所以PC∥
