平面向量的基本定理及坐标表.ppt

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1、2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理给定平面内任意两个向量e1,e2，请作出向量3e1+2e2、e1-2e2，平面内的任一向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示呢？思考平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使得a=1e1+2e2.把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.关于基底的几点说明：向量的夹角:OAB两个非零向量和,作，,则叫做向量和的夹角．夹角的范围：与反向OAB记作与垂直，OA

2、B注意:两向量必须是同起点的与同向OAB特别的：已知向量e1、e2，求作向量-2.5e1+3e2.解：例1如图在基底e1、e2下分解下列向量：例2例3.在等边三角形中，求(1)AB与AC的夹角；(2)AB与BC的夹角。ABC2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对平面直角坐标系内的每一个向量，如何表示呢？思考向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为

3、基底，则对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y使得a=xi+yj，把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，显然，i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).如图，分别用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标.解：a=2i+3j=(2,3),b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3).例题在直角坐标系xOy中，向量a、b、c的方向和长度如图所示，分别求它们的坐标.例题如图，e1、e2为正交

4、基底，分别写出图中向量a、b、c、d的分解式，并分别求出它们的直角坐标.练一练解：a=2e1+3e2=(2,3)，b=-2e1+3e2=(-2,3)，c=-2e1-3e2=(-2,-3)，d=2e1-3e2=(2,-3).已知是坐标原点，点在第一象限，，求向量的坐标.练一练1．平面向量基本定理；2．平面向量的正交分解；3．平面向量的坐标表示.小结2.3.3平面向量的坐标运算1．平面向量基本定理；2．平面向量的正交分解；3．平面向量的坐标表示.复习已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，你能得出a+b，a-b，a的坐标吗？

5、思考a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j=(x1+x2,y1+y2).同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2)，a=(x1i+y1j)=x1i+y1j=(x1,y1)，已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，则=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).平面向量的坐标运算法则（1）两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.（3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点

6、的坐标减去始点的坐标.已知a=(2,1)，b=(-3,4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.解：a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5)，a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3)，3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).例题已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4)，试求顶点D的坐标.例题2.3.4平面向量共线的坐标表示如何用坐标表示两个共线向量？设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，其中b0，a与b共线，当

7、且仅当存在实数，使a=b，即(x1,y1)=(x2,y2)，x1=x2，y1=y2，消去后得，x1y2-x2y1=0.思考已知a=(4,2)，b=(6,y)，且a//b，求y.解：∵a//b，∴4y-26=0，∴y=3。例题已知A(-1,-1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断A、B、C三点之间的关系.例题设线段两端点P1、P2的坐标分别是(x1,y1)，(x2,y2)，（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.例题3同理，如果说那么点P的坐标是

8、已知a=(3,2)，b=(0,-1)，求-2a+4b，4a+3b的坐标.(-6,-8)，(12,5)已知：A(2,3)，B(-1,5)，且，求点C、D、E的坐标.练一练已知三点A(1,1)，B(-1,0)，C(0,1)，求另一点D(x,y)，使.若三点A(1,1)，B(2,-