现在数值分析课件科大 现代数值分析09 代数插值.ppt

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1、第六章插值/*Interpolation*/当精确函数y=f(x)非常复杂或未知时，在一系列节点x0…xn处测得函数值y0=f(x0),…yn=f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数g(x)f(x)，满足条件g(xi)=f(xi)(i=0,…n)。这里的g(x)称为f(x)的插值函数。最常用的插值函数是…?多项式x0x1x2x3x4xg(x)f(x)§1拉格朗日多项式/*LagrangePolynomial*/niyxPiin,...,0,)(==求n次多项式使得条件：无重合节点，即n=1已知x0,x1;y0,y1，求使得111001)(,)(yxPyxP

2、==可见P1(x)是过(x0,y0)和(x1,y1)两点的直线。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl称为拉氏基函数/*LagrangeBasis*/，满足条件li(xj)=ij/*KroneckerDelta*/§1LagrangePolynomialn1希望找到li(x)，i=0,…,n使得li(xj)=ij；然后令==niiinyxlxP0)()(，则显然有Pn(xi)=yi。li(x)每个li有n个根x0…xi…xn-==jijiiiixx

3、Cxl)(11)(LagrangePolynomial=-=---=njjijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(与有关，而与无关节点f§1LagrangePolynomial定理(唯一性)满足的n阶插值多项式是存在且唯一的。证明：存在性证明(p.161利用Vandermonde行列式论证)唯一性用反证法：若不唯一，则除了Ln(x)外还有另一n阶多项式Pn(x)满足Pn(xi)=yi。考察则Qn的阶数n而Qn有个不同的根n+1x0…xn。注：若不将多项式次数限制为n，则插值多项式不唯一。例如也是一个插值多项式，其中可以是任意

4、多项式。§1LagrangePolynomial插值余项/*Remainder*/设节点在[a,b]内存在,考察截断误差，且f满足条件,Rolle’sTheorem:若充分光滑，，则存在使得。推广：若使得使得存在使得Rn(x)至少有个根n+1=-=niinxxxKxR0)()()(任意固定xxi(i=0,…,n),考察=-=niixtxKtRnt0)()()()(j(t)有n+2个不同的根x0…xnx!)1()()()1(+-+nxKRxnnx注意这里是对t求导=+--++!)1)(()()()1()1(nxKLfxnnxnxx!)1()()()1(+

5、=+nfxKxnx§1LagrangePolynomial注：通常不能确定x,而是估计,x(a,b)将作为误差估计上限。当f(x)为任一个次数n的多项式时，,可知，即插值多项式对于次数n的多项式是精确的。Q:给定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪个是l2(x)的图像？y0---10.5-0.5123456xy0---10.5-0.5123456xy0---10.5-0.5123456xABC§1LagrangePolynomial例：已知分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50并估计误差。解：n=1分别利用x0

6、,x1以及x1,x2计算利用这里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614外推/*extrapolation*/的实际误差0.0101利用sin500.76008,内插/*interpolation*/的实际误差0.0059内插通常优于外推。选择要计算的x所在的区间的端点，插值效果较好。§1LagrangePolynomialn=2)185(50sin20pL0.7654sin50=0.7660444…2次插值的实际误差0.0006高次插值通常优于低次插值但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿……