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《现在数值分析课件科大 现代数值分析02 线性代数方程组求解.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、下面来看看直接解法和迭代解法的含义直接解法就是通过有限步的计算得到精确解的的方法:迭代解法就是通过逐次迭代逼近来得到近似解的方法.线性代数方程组的解法直接解法迭代解法基本框架Basicframe一般原则如下对低阶稠密矩阵和大型带形矩阵对应的线性代数方程组，用直接解法求解；而对大型稀疏（非带形）矩阵所对应的线性代数方程组，用迭代方法求解。GeneralPrinciple线性代数方程组的一般形式为写成矩阵的形式为AX=b/*DirectionMethod*/第二章解线性代数方程的直接方法§2.1高斯（Gauss）消去法1.高斯顺序消去法：§2.1Gaussevaluationmet
2、hod基本思想对线性代数方程组所对应的增广矩阵进行一系列“把某一行的常数倍加到另一行上去”这样的初等行变换,最后得到上三角矩阵所对应的线性代数方程组,只要回代就可得到原方程组的解。§2.1Gaussevaluationmethod(一)消去过程§2.1Gaussevaluationmethod§2.1Gaussevaluationmethod§2.1Gaussevaluationmethod§2.1Gaussevaluationmethod(二)回代过程下面来看两个定理定理1：如果线性方程组的系数矩阵A的各阶顺序主子式均不为零，则可用高斯顺序消去法求出方程组的解.定理2：如果线
3、性方程组的系数矩阵A非奇异，则可用高斯消去法求出该方程组的解.§2.1Gaussevaluationmethod例：试用高斯顺序消去法求解线性代数方程组：解：线性方程组的增广矩阵为：§2.1Gaussevaluationmethod首先进行消去过程，对分别用-2，-3，-4乘第一行后加到第2、3、4行有对用-1乘第2行分别加到第3、4行有§2.1Gaussevaluationmethod对用-1乘第3行加到第4行有其次进行回代过程：算出§2.1Gaussevaluationmethod例：采用四位有效数字，求线性方程组的解不进行行交换的高斯消去法回代可得把的第一行乘以-1764
4、加到第二行有方法1§2.1Gaussevaluationmethod方法二进行行交换的高斯消元法：交换的第一，二两行有把的第一行乘以-0.0005670加到第二行有回代可得x2=1.000，x1=10.00从例子我们可以看出，原方程的解为x2=1.000，x1=10.00即方法2所求得，而方法1得出的解是错误的.大数“吞掉”小数的现象§2.1Gaussevaluationmethod第一步：交换后的矩阵仍记为，第二步：即类似地,完成第二步到第n-1步,最后可得上三角形式。3.全主元消去法选主元的范围更大.总结2：高斯列主元消去法：§2.1Gaussevaluationmetho
5、d§2.2矩阵的三角分解左乘即有第二步：等价于：若时，用矩阵§2.2TriangularDecompositionofMatrix1直接三角分解法/*DirectionMethodofTriangularDecomposition*/左乘即有一步一步作下去，一直做到第n-1步，有§2.2TriangularDecompositionofMatrix综合上述n-1步,我们有从而由的定义及逆矩阵的计算,容易得到根据分块矩阵的计算,并记由我们有:§2.2TriangularDecompositionofMatrix定义:2.2.1定义:2.2.2设A为n()阶矩阵,称为矩阵A的三角分
6、解,其中L是下三角矩阵,U是上三角矩阵.如果L是单位下三角矩阵,U是上三角矩阵,则三角分解A=LU称为杜利脱尔(Doolittle)分解;如果L是下三角矩阵,U是单位上三角矩阵,则称A=LU为克罗脱(Crout)分解.§2.2TriangularDecompositionofMatrixA=LULy=bUx=yAX=b§2.2TriangularDecompositionofMatrix定理:2.2.1如果非奇异矩阵A满足下列三个条件之一:(1)A的各阶顺序主子式不为零,即(3)A为对称正定矩阵则矩阵A有唯一的杜利脱尔分解A=LU和唯一的克罗脱分解.(2)§2.2Triangu
7、larDecompositionofMatrix定义:2.2.3设A是n阶(n>1)对称正定矩阵,L是非奇异的下三角矩阵,则A=LLT为矩阵A的乔列斯基(choleshy)分解设A为实对称正定矩阵,令,即2平方根法§2.2TriangularDecompositionofMatrix/*SquareRootMethod/下面来看两个定理n阶(n>1)对称正定矩阵A必有如下分解A=LDLT其中L是单位下三角矩阵,D是对角元全正的对角矩阵,并且这种分解是唯一的.定理:2.2.2定理:2.2.3n
