线性代数课件河北理工学院第五章二次型 第二节.ppt

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1、第二节   二次型的标准形用正交变换法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形用初等变换法化二次型为标准形的二次型称为二次型的标准形(或法式)。如果在二次型中只含变量的平方项(不含变量的交叉乘积项),即形如为二次型的标准形.二次型的标准形使二次型只含平方项,即用(*)代入二次型能使若记,则可逆变换(*)可记作:代入有求可逆线性变换对于二次型讨论的主要问题是:也就是要使成为对角阵。主要问题转化为对于对称矩阵A,寻求可逆矩阵P,使成为对角阵。任给二次型总有正交变换使f化为标准形其中是二次型f的矩阵的特征值定理7.2二、用正交变换法化二次型为

2、标准形用正交变换化二次型为标准形的具体步骤解1.写出对应的二次型矩阵从而得特征值2.求其特征值3.求特征向量4.将特征向量正交化得正交向量组5.将正交向量组单位化,得正交矩阵于是所求正交变换为解解得特征值为:解方程组得基础解系单位化解方程组可得正交的基础解系:单位化于是所求正交变换为且有所用的正交变换矩阵为1. 若二次型含有的平方项,则先把含有的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量同样进行,直到都配成平方项为止,经过可逆的线性变换,就得到标准形;2. 若二次型中不含有平方项,但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1

3、中方法配方.三、用配方法化二次型为标准形解例1含有平方项去掉配方后多出来的项所用变换矩阵为解例2由于所给二次型中无平方项,所以再配方,得所用变换矩阵为四用初等变换法化二次型为标准形将一个二次型化为标准形,可以用正交变换法,也可以用拉格朗日配方法,或者其它方法,这取决于问题的要求.如果要求找出一个正交矩阵,无疑应使用正交变换法;如果只需要找出一个可逆的线性变换,那么各种方法都可以使用.正交变换法的好处是有固定的步骤,可以按部就班一步一步地求解,但计算量通常较大;如果二次型中变量个数较少,使用拉格朗日配方法反而比较简单.需要注意的是,使用不

4、同的方法,所得到的标准形可能不相同,但标准形中含有的项数必定相同,项数等于所给二次型的秩.小结思考题三种化二次型为标准形的方法有何异同?

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