线性代数课件河北理工学院第二章矩阵 第四节.ppt

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1、矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的等价和矩阵的标准形用初等变换求逆矩阵第四节矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换（1）对调两行（对调i,j两行，记作（2）以不为零的数k乘某一行的所有元素(第i行乘数k,记作一、矩阵的初等变换和初等矩阵1、矩阵的初等变换（3）把某一行的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（第i行的k倍加到第j行上去,记作定义2.111.把定义中的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义。2.我们把矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为矩阵的初等变换。注意：三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是与之相应的同一类型的初等变换,即的逆变换就是

2、本身的逆变换是的逆变换是单位矩阵I经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，它们是：2、初等矩阵定义2.12用初等矩阵右乘给定矩阵，其结果就是对给定矩阵施行相应的初等列变换。用初等矩阵左乘给定的矩阵，其结果就是对给定的矩阵施以相应的初等行变换。3、初等矩阵与初等变换之间的关系由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵都是可逆的，且：注意：例如如果矩阵A经过有限次初等变换变成容易验证等价关系满足：（1）反身性：对任意矩阵A，（2）对称性：（3）传递性：二、矩阵的等价和矩阵的标准形1、等价矩阵定义2.13矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记作的矩阵称为矩阵A的标准形。

3、（主对角线上1的个数可以是0）第r行即2、矩阵A的标准形形如定理任意一个矩阵A都和一标准形等价。的矩阵证若A=O，则结论成立（因A已是标准形）将第i行和第一行互换，第j列和第一列互换，使不为0的元素换到左上角的位置，因此不妨设元素都化为0，再化为1，即重复上述过程，最终得到通过初等变换先把第一行和第一列的其它例2.19设问：矩阵A和B是否等价？解先求A、B的标准形对B施行一系列初等变换得由上述定理可得如下推论推论1对任意矩阵存在一系列m阶初等和n阶初等矩阵使得则P、Q是可逆的，于是有:在推论1中令:推论2对任意矩阵存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使得推

4、论3设A为n阶方阵，则A可逆特别地,由可知:推论4设A为n阶方阵，则A可逆A可以表示成有限个初等矩阵的乘积。事实上,由推论3知A可逆存在初等矩阵使得三、用初等变换求逆矩阵例2.20所以A可逆，且例2.21试判断A是否可逆，若可逆求从而知，A不可逆。（1）判断矩阵A是否可逆，可直接对作初等行变换，若变换过程中，与A等价的矩阵中有一行为0，就能判断A不与I等价，从而知A不可逆。注意：（2）若作阶分块矩阵只对分块矩阵单位矩阵时，作初等列变换，当可逆矩阵A化为子块I就化成了即初等行变换列变换例如解例2.22设A为n阶方阵，满足其中m为正整数，I为n阶单位矩阵，

5、今将A中的个元素用其代数余子式代替，得到的矩阵记为证明：证由已知所以所以A可逆。矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的标准形小结求逆矩阵方法用公式用初等行（列）变换。用定义AB=E，或BA=E上述四个等式中哪个成立？练习思考题解可以看成是由3阶单位矩阵经4次初等变换,而得.而这4次初等变换所对应的初等方阵为:由初等方阵的性质得