线性代数课件考研专用 第二章__矩_阵.ppt

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1、第二章矩阵矩阵的运算几种特殊的矩阵逆矩阵分块矩阵矩阵的初等变换难点:分块矩阵、初等矩阵与初等变换的关系重点:矩阵的运算、特殊矩阵、逆矩阵§2.1矩阵的运算一、矩阵的线性运算说明:定义1由数域F中的m×n个数排列成矩形数表称为数域F上的m×n矩阵,记4)方阵单位矩阵。定义2则称矩阵A,B相等,记A=B。行向量;下列矩阵是否相等:1)零矩阵;2)单位矩阵。定义3例1解:性质:注意:求两个矩阵和的前提条件:同型矩阵。定义4矩阵的加法与数乘,统称矩阵的线性运算。性质:二、矩阵的乘法定义51)矩阵乘积条件:左乘矩阵的列数等于右乘矩阵的行数;注意:

2、2)乘积矩阵的行数列数:例如不能相乘。例2计算下列矩阵的乘积:解:例3解:矩阵乘法的运算规律:注意:矩阵乘法一般不满足交换律,即但也有例外,如例4解:注意:例4说明:三、矩阵的转置性质:定义6将矩阵A的行换成同序数的列所得的矩阵,称为A的转置矩阵,记例如例5解:另解:四、n阶矩阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式,称为方阵A的行列式,记性质:例如§2.2几种特殊矩阵定义7说明:定义8说明:1)对称矩阵的元素关于主对角线对称;定义9例1证:即为对称矩阵。即为反对称矩阵。结论:任意方阵§2.3逆矩阵定义10对n阶矩阵A,如果存在同阶矩

3、阵B,使则称矩阵A可逆,并称B为A的逆矩阵,说明:若A为可逆矩阵,则其逆矩阵唯一。矩阵是否有类似于除法的运算?引入:例1证:定义11为矩阵A定义12的伴随矩阵。性质:同理证:证:定理1矩阵A可逆的充要条件:推论证:求方阵的逆矩阵。解:例2同理例3求n阶单位矩阵的逆矩阵、伴随矩阵。解:逆矩阵的性质:设A,B为同阶可逆方阵,k为实数:解:例4例5证:§2.4分块矩阵常用分块法:按行(列)分块,零子块,单位子块:降阶简化运算。例1解:例2解:称A为分块对角矩阵:例3解:例4证:推广:§2.5矩阵的初等变换一、初等矩阵及其性质定义13以下三种变

4、换称为矩阵的初等行变换:矩阵的初等行变换与初等列变换:初等变换。定义14单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵,称为初等矩阵。初等变换可逆:可通过相应的初等变换还原。1)对矩阵A施以一次初等行变换,相当于对A左乘相应的初等矩阵;初等变换初等逆变换初等矩阵初等逆矩阵定理22)对矩阵A施以一次初等列变换,相当于对A右乘相应的初等矩阵。定理3定义15矩阵经过有限次初等变换可得到矩阵,称A与B等价,记任意矩阵经过有限次初等变换,可化为称D为等价标准形。Gauss消元解:例1即A的等价标准形为证:定理4推论二、用初等变换求矩阵的逆解:例2例3解矩阵方

5、程AX=A+2X,其中解:解:例4习题选讲:解:例1证:例2解:解:例3证:例4A:26.(1)(2)(5)、27.(1)、28、30习题二:课堂练习:B:1.(2)(6)2.(5)(6)(9)(10)B:16、17B:10、14、15A:22、23、24.(1)、25.(1)B:4、5A:16.(1)(2)、17、18、19A:3、5.(2)(4)(6)、9.(2)(4)(5)B:1.(2)、2.(2)

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