Kxtjxc高一数学典型例题分析:数列的求和.doc

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1、生命是永恒不断的创造,因为在它内部蕴含着过剩的精力,它不断流溢,越出时间和空间的界限,它不停地追求,以形形色色的自我表现的形式表现出来。--泰戈尔专题研究:数列的求和·例题解析 【例1】求下列数列的前n项和Sn:(3)先对通项求和【例2】求和:【例3】求下面数列的前n项和:比数列,另一个数组成以3n-2为通项的等差数列,分别求和后再合并.解设数列的通项为an,前n项和为Sn说明等比数列的求和问题,分q=1与q≠1两种情况讨论.…的前n项之和是[]数列{

2、bn}的前n项和Sn=b1+b2+…+bn【例5】求在区间[a,b](b>a,a,b∈N)上分母是3的不可约分数之和.其中,可约分数是a,a+1,a+2,…,b故不可约分数之和为=b2-a2解法二两式相加:2S=(a+b)+(a+b)+…+(a+b)其个数为以3为分母的分数个数减去可约分数个数.即3(b-a)+1-(b-a+1)=2(b-a)∴2S=2(b-a)(a+b)∴S=b2-a2【例6】求下列数列的前n项和Sn:(1)a,2a2,3a3,…,n

3、an,…,(a≠0、1);(2)1,4,9,…,n2,…;(3)1,3x,5x2,…,(2n-1)xn-1,…,(x≠1)解(1)Sn=a+2a2+3a3+…+nan∵a≠0∴aSn=a2+2a3+3a4+…+(n-1)an+nan+1Sn-aSn=a+a2+a3+…+an-nan+1∵a≠1(2)Sn=1+4+9+…+n2∵(a+1)3-a3=3a2+3a+1∴23-13=3×12+3×1+133-23=3×22+3×2+143-33=3×32+3×3+1……n3-(n-1)3=3(n-

4、1)2+3(n-1)+1(n+1)3-n3=3n2+3n+1把上列几个等式的左右两边分别相加,得(n+1)3-13=3(12+22+…+n2)+3(1+2+…+n)+n∴12+22+32+…+n2(3)∵Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn-1∴xSn=x+3x2+5x3+…+(2n-3)xn-1+(2n-1)xn两式相减,得(1-x)Sn=1+2x(1+x+x2+…+xn-2)-(2n-1)xn两式相减,得说明求形如{an·bn}的数列的前n项和,若其中{an}成等差数列

5、,{bn}成等比数列,则可采用推导等比数列求和公式的方法,即错位相减法,此方法体现了化归思想.n∈N*,若bn=(-1)n·Sn,求数列{bn}的前n项和Tn.分析求{bn}的前n项和,应从通项bn入手,关键在于求{an}的前n项和Sn,而由已知只需求{an}的通项an即可.-3,由a2=1,解得a3=1.即a1=1,a2=3,a3=5,∴d=2an=1+2(n-1)=2n-1Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2bn=(-1)n·Sn=(-1)n·n2Tn=-12+22-32+42-…+(-1)n·n2当n为偶数时,即n=

6、2k,k∈N*Tn=(-12+22)+(-32+42)+…+[-(2k-1)2+(2k)2]=3+7+…+(4k-1)当n为奇数时,即n=2k-1,k∈N*Tn=-12+22-32+42-…-(2k-1)2=-12+22-32+42-…-(2k-1)2+(2k)2-(2k)2=(2k+1)k-(2k)2=-k(2k-1)∵an≠-1∴an=2n-1以下同解法一.说明本题以“等差数列”这一已知条件为线索,运用方程思想,求数列{an}的通项an,在求数列{bn}的前n项和中,通过化简、变形把一般数列的求和问题转化为等差数列的求和问

7、题.由于(-1)n的作用,在变形中对n须分两种情况讨论

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