数值计算方法第2章2-1节.ppt

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1、第2章非线性方程的数值解法2.1初始近似值的搜索2.2迭代法2.3牛顿迭代法（切线法）2.4弦截法（割线法）2.1初始近似值的搜索2.1.1方程的根单根和重根有根区间假设f(x)在区间[a,b]内有一个实根x*,若b–a较小，则可在(a,b)上任取一点x0作为初始近似根。一般情形，可用逐步搜索法。2.1.2逐步搜索法例对方程搜索有根区间。解由于f(x)是连续函数，f(0)=-1<0，f(2)>0，故方程至少有一正实根。设从x=0出发，取h=0.5为步长，逐步右跨搜索，得x00.51.01.5f(x)―――+所以f(x)在区间（1,1.5）上单调连续，因而在(1

2、,1.5)内有且仅有一个实根，故可取[1,1.5]上任一点做初始近似根。可见在（1，1.5）内有根。又2.1.3区间二分法定理函数f(x)在[a,b]上单调连续，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a,b]上有且仅有一个实根x*。二分法的基本思想将有根的区间二分为两个小区间，然后判断根在那个小区间，舍去无根的小区间，而把有根的小区间再一分为二，再判断根属于哪个更小的区间，如此反复，直到求出满足精度要求的近似根。令近似根xk的误差估计中点这时有三种情况：f(x0)=0,x0为所求的根.f(x0)和a0同号，取x0=a1f(x0)和b0同号，取x0=

3、b1x*x*新的有根区间为(a1,b1)，长度是原来的一半。如此反复，有∈(ak,bk),k=0,1,2,…..近似根xk的误差估计第2次二分，取中点若f(a1)f(x1)<0，则x*∈(a1,x1)，令a2=a1,b2=x1；否则令a2=x1,b2=b1。新的有根区间为(a2,b2)。由此得二分过程结束的原则：先给定精度要求ε(绝对误差限)，（2）当

4、bk+1–ak+1

5、<ε时结束二分计算，取x*≈xk；（1）事先由ε估计出二分的最小次数k，取x*≈xk