上海市普陀区2015届高三数学二模试卷(含答案).doc

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1、上海市普陀区2015届高三数学二模试卷一、填空题（每小题4分，共56分）1．已知集合，若，则实数的取值范围是．2．函数的最小正周期为．3．在等差数列中，已知则42．4．若，是直线的倾斜角，则=．（用的反正切表示）5．设（i为虚数单位），则．6．直角坐标系内有点A（2，1），B（0，2），将线段绕直线旋转一周，所得到几何体的体积为．7.已知平面向量，若，则．8．设，行列式中第3行第2列的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则　．9．某学生参加3门课程的考试。假设该学生第一门、第二门及第三门课程取得合格水平的概率依次为，，且不同课程是

2、否取得合格水平相互独立。则该生只取得一门课程合格的概率为．（第11题图）结束开始输入nn≤5Tn←－n2＋9n输出TnYN10．已知是椭圆上的一点，为椭圆的左、右焦点，则的最小值为．11．已知是等差数列，设．某学生设计了一个求的算法框图（如图），图中空白处理框中是用的表达式对赋值，则空白处理框中应填入：←____________．12．不等式对一切非零实数均成立，则实数的范围为．13．平面直角坐标系中，为坐标原点.定义、两点之间的“直角距离”为，已知点，点M是直线上的动点，的最小值为．14．当为正整数时，用表示的最大奇因数，如，设

3、，则数列的前项和的表达式为．二、选择题（每小题5分，共20分）15．已知，是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（C）（A）若,,则；（B）若,,则；（C）若,,则；（D）若,,则；16．以下是科学家与之相研究的领域不匹配的是（D）（A）笛卡儿—解析几何；（B）帕斯卡—概率论；（C）康托尔—集合论；（D）祖暅之—复数论；17．已知各项均不为零的数列,定义向量，，.下列命题中真命题是（A）(A)若总有成立，则数列是等差数列(B)若总有成立，则数列是等比数列(C)若总有成立，则数列是等差数列(D)若总有成立，则数列是等比数列1

4、8．方程的正根从小到大地依次排列为，则正确的结论为（B）（A）（B）（C）（D）三、解答题（12+14+14+16+18，共74分）19．已知向量（为常数且），函数在上的最大值为．（1）求实数的值；（2）把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，若在上为增函数，求的最大值．解：（1）因为函数在上的最大值为，所以故（2）由（1）知：，把函数的图象向右平移个单位，可得函数又在上为增函数，的周期即所以的最大值为2PBNＣＡＭ20．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，是的中点，是的中点，点在上，且满足（1）证明：；（2）当取何值时，直线与平面所

5、成的角最大？并求该角的最大值的正切值。解：(1)以分别为轴，建立空间直角坐标系则（2）显然平面的一个法向量为则（*）于是问题转化为二次函数求最值，而，当最大时，最大，即最大，由（*）式：时，21．近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为10万件，每件小挂件的销售价格平均为100元，生产成本为80元。从今年起工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。设第n年每件小挂件的生产成本元，若玉制产品的销售价格不变，第n年的年利润为万元（今年为第1年）（1）求利润的表达

6、式;（2）问从今年算起第几年的利润最高？最高利润为多少万元？解：（1）（2），故，当时，最大，最高利润为520万元。22．存在对称中心的曲线叫做有心曲线．显然圆、椭圆和双曲线都是有心曲线．若有心曲线上两点的连线段过中心，则该线段叫做有心曲线的直径．（1）已知点，求使面积为时，椭圆的直径所在的直线方程；（2）若过椭圆的中心作斜率为的直线交椭圆于两点，且椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，长度为半径作⊙，问是否存在定圆⊙，使得⊙恒与⊙相切？若存在，求出⊙的方程。若不存在，请说明理由。（3）定理：若过圆的一条直径的两个端点与圆上任意一点

7、（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值．请对上述定理进行推广．说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给与不同的评分．解：（1）设直线的方程为，代入椭圆方程得，则解得故直线的方程为（2）存在⊙：与⊙恒相切，圆心为椭圆的左焦点由椭圆的定义知，两圆相内切。（3）根据结论的一般性程度给与不同的评分．（问题1-4层）过圆的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值．②若过圆的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存

8、在，那么此两斜率之积为定值．③过椭圆的一条直径的两个端点与椭圆任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值．④过有心圆锥曲线的一条直径的两个端点与曲线上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此