方程的特征值与特征向量.ppt

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1、第二节方阵的特征值与特征向量一特征值与特征向量三应用举例二特征值和特征向量的性质四小结课前复习１、内积２、长度３、夹角４、正交５、施密特（Schmidt）正交化法６、正交矩阵和正交变换其中Ｐ为正交矩阵．正交变换的优良特性：内积不变夹角不变长度不变一、特征值与特征向量的概念定义Ａ为ｎ阶方阵，λ为数，为ｎ维非零向量，若则λ称为Ａ的特征值，称为Ａ的特征向量．（１）注②并不一定唯一；③ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组①特征向量　　，特征值问题只针对与方阵；有非零解的λ值，即满足的λ都是方阵Ａ的特征值．定义

2、称以λ为未知数的一元ｎ次方程为Ａ的特征方程．定义称以λ为变量的一元ｎ次多项式为Ａ的特征多项式．定理设ｎ阶方阵　　　　的特征值为则证明①当　　　　　是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项式可分解为令得即证明②因为行列式它的展开式中，主对角线上元素的乘积是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至多含ｎ－２个主对角线上的元素，含　　　　的项只能在主对角线上元素的乘积项中．故有比较①，有因此，特征多项式中定义方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹.记为二、特征值和特征向量的性质推论１ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值

3、全不为零.若数λ为可逆阵的Ａ的特征值，则　为　的特征值．推论２则　为　的特征值．推论３则　　为　的特征值．推论４则　为　的特征值．推论５特别单位阵Ｅ的一个特征值为１．三、应用举例１、若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则的一个特征值为（　　）２、证ｎ阶方阵Ａ的满足　　　，则Ａ的特征值为０或１．３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则（　　）４、求下列方阵的特征值与特征向量四、特征向量的性质定理互异特征值对应的特征向量线性无关。定理互异特征值对应的各自线性无关的特征向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关。定理若ｎ

4、阶矩阵Ａ的任　重特征值对应的线性无关的特征向量的个数不超过．