二○○六年全国高中数学联赛江西省预赛试卷.doc

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1、二○○六年全国高中数学联赛江西省预赛试卷答案及评分标准2006年9月24日上午（8∶30-11∶00）考生注意：1、本试卷共三大题（15个小题），全卷满分150分．2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答．3、解题书写不要超出装订线．4、不能使用计算器．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1．函数与的定义域和值域都是，且都有反函数，则函数的反函数是（）答：

2、C.解：由依次得，互易得.2．集合由满足如下条件的函数组成：当时，有，对于两个函数，以下关系中成立的是（）答：D.解：．，取，则.中，则比式等于答：解：如图易知，，因此选4．抛物线上两点关于直线对称，若，则的值是（）.答：．解：由以及得，5．椭圆的中心，右焦点，右顶点，右准线与轴的交点依次为，则的最大值为（）.不能确定.答：．解：.（时取等号）6．函数的值域为（）答：.解：的定义域为则，令，则因，则.二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7．若，则.答：.解：由条件得，则.8．数列由全体正奇数自小到大排列而成

3、，并且每个奇数连续出现次，，如果这个数列的通项公式为则答：.解：由，即当时，，所以，于是，9．为实数，满足，则的最大值为.答：.解：设，则，（当时取等号）.10．若集合中的每个元素都可表为中两个不同的数之积，则集中元素个数的最大值为.答：.解：从中每次取一对作乘积，共得个值，但其中有重复，重复的情况为，共种，因此集合中至多有个数.11．作出正四面体每个面的中位线，共得条线段，在这些线段中，相互成异面直线的“线段对”有个.答：个“线段对”.解：任取一条中位线考虑，所在的侧面没有与异面的线段；含点的另一个侧面恰有一条中位线与异面；含点的另一个侧面恰有一条中

4、位线与异面；不含的侧面恰有两条中位线与异面；因此与异面的中位线共有条，即含有线段的异面“线段对”共有个，于是得异面“线段对”个，（其中有重复）.但每一个异面“线段对”中有两条线段，故恰被计算了两次，因此得个异面“线段对”.12．用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个顶点皆不同色，则不同的染色方法有种.答：种.解：将其转化为具有五个扇形格的圆盘染五色，使邻格不同色的染色问题。设有个扇形格的圆盘染五色的方法数为，则有，于是三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设为正数，证明：证：对归

5、纳，时显然成立等号；设时结论对于任意个正数成立，当时，对于任意个正数，据假设有，…5分所以只要证，…平方整理，只要证，……10分由柯西不等式……………15分即所以即成立，因此当时结论成立.故由归纳法知，所证不等式成立.………………………………20分14．三角形中，是的中点，、、分别是边上的点，且△的外接圆交线段于若点满足：证明：证明：在圆中，由于弦故圆周角，因此，、、、与、、、分别共圆，于是…………………5分设点在边上的射影分别为、、，则△∽△∽△，故由得，设△的内心为今证四点共圆：连因分别共圆，则，又由，，所以△∽△因此而所以因为故得，因此、、、四点

6、共圆，于是……………10分延长AM交的外接圆于则AO为该外接圆的直径,于是且因此,点O是所在圆的圆心,从而为⊙O的切线.延长AD交⊙O于T,则∽,所以,又由∽,得,因故...②………………………15分延长到,使，则为平行四边形,...③由②得...由③、得∽所以，,即BPM=CPD.…………………20分15．数列满足：，（其中表示的整数部分，），试求的值.解：观察数列开初的一些项：012345678910111213141516171819201111222334445566778881234681013162024283338445057647280

7、88我们注意到，数列严格单增，每个正整数，顺次在数列中出现，并且除了首项之外，每个形如的数连续出现三次，其它数各连续出现两次.…5分一般地，我们可证明数列的以下性质：若记，则,若记则当时，有…10分对归纳.据上面所列出的项可知，当时结论成立.设性质对于成立，即在时，，则再对满足的归纳：当时，由于，则，因为，则设当时，均有，则当时，因为…则，即有，所以由于所以故由归纳法，当时，特别是，当时，上式成为又由，当，有所以由可知，对于当时，亦有，从而性质成立.…………………15分因为，取，则，，因此.…………………20分