医用高等数学课件 D5.4曲线的凹凸性、渐进线、函数作图.ppt

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1、第五章微分学的应用●§5.1微分中值定理●§5.2罗比达法则●§5.3函数的增减性与极值★§5.4曲线的凹凸性与拐点、渐近线、函数作图一、曲线凹凸性的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方定义凹弧:曲线弧位于其上任意一点的切线上方xoy凹凸凸弧：曲线弧位于其上任意一点的切线下方xoy曲线为凹弧曲线为凹弧曲线为凸弧曲线有凸弧也有凹弧二、曲线凹凸性的判定定理1凹凸证:过点的切线方程为令从而在处函数的纵坐标与该点切线的纵坐标之差为其中(1)当时,则曲线　　　　　　　为凸的．(2)当时,则曲线　　　　　　　

2、为凹的．拉格朗日中值定理例1解注意到,拐点xoy三、曲线的拐点及其求法1、定义注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2、拐点的必要条件证方法1:3、拐点的判别方法例2解凹的凸的凹的拐点拐点方法2:例3解注意:例4解无渐近线.点M与某一直线L的距离趋于0,四、曲线的渐近线定义.若曲线C上的点M沿着曲线无限地远离原点时,则称直线L为曲线C的渐近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐标差”1.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例1.求曲线的渐近线.解:为水平渐近线;为垂直渐近线.2.斜渐近线斜渐近线若例2.求曲线的渐近线.解:所以有铅

3、直渐近线及又因为曲线的斜渐近线.五、函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周要求:函数作图要做到轮廊清晰、特征分明例4.描绘方程的图形.解:1)定义域为2)求关键点3)判别曲线形态(极大)(极小)4)求渐近线为铅直渐近线无定义又因即5)求特殊点为斜渐近线6）绘图(极大)(极小)斜渐近线铅直渐近线特殊点无定义例5.描绘函数的图形.解:1)定义域为图形对称于y轴.2)求关键点3)判别曲线形态(极大)(拐点)(极

4、大)(拐点)为水平渐近线5)作图4)求渐近线●总结总结与练习1曲线的凹凸性与拐点2利用导数描绘函数的图形（1）曲线的凹凸性与拐点的定义曲线的渐近线、函数图形的描绘（2）曲线的凹凸性与拐点的判定方法