特征值与特征向量.ppt

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1、第五章特征值与特征向量 矩阵的对角化5.1矩阵的特征值和特征向量相似矩阵特征值和特征向量的基本概念特征值和特征向量的基本性质相似矩阵及其性质特征值和特征向量的基本概念定义5.1设A是复数域C上的n阶矩阵,如果存在数C和非零n维向量x,使得Ax=x则称为A的特征值,x为A的属(对应)于特征值的特征向量。如何求特征值和特征向量:特征向量x是齐次线性方程组(IA)x=0的非零解。应满足

2、IA

3、=0即是多项式det(IA)的零点。定义5.1设n阶矩阵A=(aij),则称为A的特征多项式.(IA)称为A的特征矩阵,

4、IA

5、=

6、0称为A的特征方程.n阶矩阵A的特征多项式在复数域上的n个根都是矩阵A的特征值,其k重根叫做k重特征值。如何求特征值及特征向量?(1)计算特征多项式(2)求出的全部根(3)对于每个,求的全部非零解。例2求矩阵的特征值及特征向量。例1n阶对角矩阵A,上(下)三角形矩阵B的特征值都是它们的n个主对角元a11,a22,,ann。解:A的特征方程为A的特征值为:1=0,2,3=2。对于1=0,求解(0IA)x=0,即得基础解系:x1=(1,1,1)T。kx1(k0为任意常数)是A的属于1的全部特征向量。对于2,3=2,求解(-2I

7、A)x=0,即得基础解系:x2=(1,1,0)T,x3=(1,0,1)T。k2x2+k3x3(k2,k3是不全为零的任意常数)是A关于2,3的全部的特征向量。例设向量,都是方阵对应于特征值的特征向量,又向量,求解:定理5.1若x1,x2是A属于0的两个的特征向量,则k1x1+k2x2也是A属于0的特征向量(其中k1,k2是任意常数,但k1x1+k2x20).(IA)x=0的解空间称为A的关于的特征子空间,记作V。dimV=nr(IA)={k1x1+k2x2

8、x2=(1,1,0)T,x3=(1,0,1)T,k1,k2R}=L

9、((1,1,0)T,(1,0,1)T)特征值和特征向量的性质如例2中,={kx

10、x=(1,1,1)T,kR}=L((1,1,1)T);定理5.2若n阶矩阵A=(aij)的n个特征值为1,2,,n,则称A的主对角元的和为A的迹,记作tr(A)。性质1若是A的特征值,x是A的属于的特征向量。则(1)k是kA的特征值(k为任意常数);(2)m是Am的特征值;(3)若A可逆,则1为A1的一个特征值,而x仍然是矩阵kA,Am和A1的分别对应于特征值k,m和1的特征向量。证明性质2矩阵A和AT的特征值相同。定理5.2若

11、n阶矩阵A=(aij)的n个特征值为1,2,,n,则(*)=n+c1n1++cknk++cn-1+cn(*)式可表示为2n个行列式之和,其中展开后含n1项的行列式有下面n个:证明:它们的和等于(a11+a22+…+ann)n1=(*)式中不含的常数项为所以,由根与系数的关系及常数项相等,得证。返回例3设解(1)A的特征值为:1,2=03=2。求A的特征值和特征向量;求可逆矩阵P,使P1AP为对角阵。对于1,2=0,求解(1IA)x=0,即得基础解系:x1=(1,1,0)T,x2=(1,0,1)T,

12、则k1x1+k2x2(k1,k2不全为0)是A的属于1的全部特征向量。则AP=P,且

13、P

14、0,所以,P1AP=为对角矩阵。A的属于2的全部特征向量为k3x(k30为任意常数)。对于3=2,求解(2IA)x=0,即得基础解系:x3=(1,2,1)T(2)将Axi=ixi(i=1,2,3)排成矩阵1、设3阶矩阵的特征值为1,-1,2,求。2、设矩阵满足方程,证明矩阵可逆。方阵A的多项式的特征值已知f(x)=amxm+am-1xm-1++a1x+a0是个多项式。则f(A)=amAm+am-1Am-1++a1A+a0I称为

15、方阵A的多项式。若A的特征值是λ,则f(A)的特征值是f(λ)。见P250/28。相似矩阵及其性质定义5.3对于矩阵A,B,若存在可逆矩阵P,使P1AP=B,则称A相似于B,记作AB。矩阵的相似关系是一种等价关系,具有以下性质:自反性;对称性;传递性。相似矩阵还有以下性质:(1)C1(kA+tB)C=kC1AC+tC1BC(k,tF);(2)C1(AB)C=(C1AC)(C1BC);(3)若AB,则AmBm(m为正整数);(4)若AB,则f(A)f(B),其中f(x)=amxm+am-1xm-1++a1x+a0是个多项式

16、。f(A)=amAm+am-1Am-1++a1A+a0I(aiF,i=0,1,,m),f(B)=amBm+am-1B

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