相似矩阵及二次型.ppt

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1、相似矩阵及二次型§1.向量的内积定义1设有n维向量令[x,y]称为向量x与y的内积。内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当x与y都是列向量时，有内积具有下列性质（其中x,y,z为n维向量，为实数）：（1）[x,y]=[y,x];（2）[x,y]=[x,y];（3）[x+y,z]=[x,z]+[y,z]..§1.向量的内积有解析几何中，我们曾经引进向量的数量积且在直角坐标系中，有n维向量的内积时数量积的一种推广，但n维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广，并且反过来，利用内积来

2、定义n维向量的长度和夹角：定义2令称为n维向量x的长度（或范数）。向量的长度有下述性质：1.非负性当时，;当x=0时，=0；2.齐次性；3.三角不等式。当=1时，称x为单位向量。向量的内积满足上式称为施瓦茨不等式，这里不予证明。由此得于是有下面的定义：当时,称为n维向量x与y的夹角。当[x,y]=0时，称向量x与y正交。显然，若x=0，则x与任意向量都正交。§1.向量的内积下面讨论正交向量组的性质。所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量。定理1若n维向量a1，a2,…,ar是一组两两正交的非零向量，则a1，a2,…,ar

3、线性无关。证设有使以左乘上式两端，得，因故，从而必有。类似可证，…，。于是向量组a1，a2,…,ar线性无关。证毕我们常采用正交向量组作为向量空间的基，称为向量空间的正交基。例如n个两两正交的n维非零向量，可构成向量空间Rn的一个正交基。§1.向量的内积例1已知3维向量空间R3中两个向量正交，试求一个非零向量a3，使a1,a2,a3两两正交。解记，a3应满足齐次线性方程Ax=0,即，由，得，从而有基础解系。取即合所求。定义3设n维向量e1,e2,…,er是向量空间的一个基，如果e1,e2,…,er两两正交，且都是单位向量，则

4、称e1,e2,…,er是V的一个规范正交基。例如就是R4的一个规范正交基。若e1,e2,…,er是V的一个规范正交基，那么V中任一向量a应能由e1,e2,…,er线性表示，设表示式为。为求其中的系数（i=1,…,r）,可用左乘上式，有即§1.向量的内积设a1,a2,…,ar是向量空间V的一个基，要求V的一个规范正交基。这也就是要找一组两两正交的单位向量e1,e2,…,er，使e1,e2,…,er与a1,a2,…,ar等价。这样一个问题，称为把a1,a2,…,ar这个基规范正交化。我们可以用以下办法把a1,a2,…,ar规范正

5、交化：取容易验证b1,…,br,两两正交，且b1,…,br与a1,…ar等价。然后只要把它们单位化，即取就得V的一个规范正交基。上述从线性无关向量组a1,…ar导出正交向量组b1,…,br的过程称为施密特（Schimidt）正交化过程。它不仅满足b1,…,br与a1,。。。,ar等价，还满足：对任何k(1),向量组b1,…，bk与a1,…,ak等价。例2设试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。解取再把它们单位化，取§1.向量的内积§1.向量的内积例4验证矩阵P是正交矩阵P解P的每个列向量都是单位向量，且两两正交，所以P是

6、正交矩阵。定义5若P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换。设y=Px为正交变换，则有按表示向量的长度，相当于线段的长度。说明经正交变换线段长度保持不变，这是正交变换的优良特性。§2.方阵的特征值与特征向量工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征的问题。数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组等问题，也都要用到特征值的理论。定义6设A是n阶矩阵，如果数和n维非零列向量x使关系式（1）成立，那么，这样的数称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值的特征向量。§2.方阵的特征值与特

7、征向量（1）式也可写成（2）这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式（3）即上式是以为未知数的一元n次方程，称为方阵A的特征方程。其左端是的n次多项式，记作f()，称为方阵A的特征多项式。显然，A的特征值就是特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，n阶矩阵A有n个特征值。§2.方阵的特征值与特征向量设n阶矩阵A=（aij）的特征值为，由多项式的根与系数之间的关系，不难证明（1）（2）请读者证明之。设为方阵A的一个特征值，则由方程可求得非零解x=

8、pi，那么pi便是A的对应于特征值的特征向量。（若为实数，则pi可取实向量；若为复数，则pi为复向量。）例5求的特征值和特征向量。解A的特征多项式为所以A的特征值为，。当时，对应的特征向量应满足即解得x1=x2,所以对应的特征向量可取为。当时，由即解得x1=-x2，所以对应的特征向量可取为