概率论与数理统计习题及答案第三章.doc

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1、习题3-11.已知随机变量X1和X2的概率分布分别为X1-101PX201P而且.求X1和X2的联合分布律.解由知.因此X1和X2的联合分布必形如X2X101pi·-1P1100P21P221P310p·j1于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X1和X2的联合分布律X2X101pi·-100010p·j1(2)注意到,而,所以X1和X2不独立.2.一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球,在其中任取4只球.以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.解从只球中取球只有种取法.在只球中,黑球有只,红球有j只

2、(余下为白球只)的取法为,≤.于是有,,,,,,,,.分布律的表格形式为XY3.设随机变量(X,Y)的概率密度为求:(1)常数;(2);(3);(4).解(1)由,得,所以.(2).(3) .(4)作直线,并记此直线下方区域与的矩形区域的交集为.即≤.见图3-8.因此≤                                     .图3-8第4题积分区域4.二维随机变量的概率密度为试确定,并求.解由,解得.因而.5.设二维随机变量(X,Y)概率密度为求关于X和Y边缘概率密度.解的概率密度在区域≤≤,≤≤外取零值.因而,有6

3、.假设随机变量在区间[-2,2]上服从均匀分布,随机变量试求：(1)X和Y的联合概率分布；(2)≤.解(1)见本章第三节三(4).(2)≤.习题3-21.设(X,Y)的分布律为YX123410.100.1020.300.10.2300.200求:(1)在条件X=2下Y的条件分布律; (2).解(1)由于,所以在条件X=2下Y的条件分布律为,,,,或写成1234(2)注意到≤.而 .因此.2.设平面区域D由曲线及直线所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,求(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值.解由题设知D的面积为

4、.因此,(X,Y)的密度为由此可得关于X的边缘概率密度.显然,当x≤1或x≥e2时,;当时,.故.3.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求：(1)(X,Y)的边缘概率密度；(2)解(1)当时,;当x≤0时或x≥1时,.故当0

5、)记区域≤与的交集为,则.其中为G0的面积.(3)X的边缘概率密度.所以,当时,.当或时,.因此习题3-31.设X与Y相互独立,且分布律分别为下表:X-10PY0256P求二维随机变量的分布律.解由于X与Y相互独立,所以有,.因此可得二维随机变量的联合分布律XY2.设(X,Y)的分布律如下表:XY12123问为何值时与相互独立?解首先,由分布律求得边缘分布律YX12p.j12αα+3ββ+pi.+α+β1由于边缘分布满足,又X,Y相互独立的等价条件为pij=pi.p.j(i=1,2;j=1,2,3).故可得方程组解得,.经检验,当,时

6、,对于所有的i=1,2;j=1,2,3均有pij=pi.p.j成立.因此当,时,X与Y相互独立..3.设随机变量X与Y的概率密度为(1)试确定常数b.(2)求边缘概率密度,.(3)问X与Y是否相互独立？解(1)由,得.(2) (3)由于，所以X与Y相互独立.4.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为(1)求X和Y的联合概率密度.(2)设关于a的二次方程为,试求a有实根的概率.解(1)由题设知X和Y的概率密度分别为因X和Y相互独立,故(X,Y)的联合概率密度为(2)方程有实根的充要条件是判别式大于

7、等于零.即≥≥Y.因此事件{方程有实根}≥.下面计算≥(参见图3-3).≥ .图3-3第6题积分区域习题3-41.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为YX0100.4a1b0.1若随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立,求常数a,b.解首先,由题设知.由此得.此外,,,  .根据题意有,即.解得.2.设两个相互独立的随机变量X,Y的分布律分别为X13Y24PX0.30.7PY0.60.4求随机变量Z=X+Y的分布律.解随机变量Z=X+Y的可能取值为.的分布律为,,,或写为Z357PZ0.180.540.283.随机变量与相互独立,

8、且均服从区间[0,3]上的均匀分布,求.解由题意知,X与Y的概率密度均为又由独立性,有P{max{X+Y}≤1}=P{X≤1,Y≤1}=P{X≤1}P{Y≤1}.而P{X≤1}=P{Y≤1},故P{max{X+Y}≤1}