自动控制原理邹见效电子课件教学课件 第4章线性系统根轨迹法.ppt

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1、第四章线性系统的根轨迹法1948年,伊万斯（W.R.Evans）根据反馈系统开、闭环传递函数之间的内在联系,提出了直接由开环传递函数寻求闭环特征根移动轨迹的方法,即根轨迹法。当闭环系统没有零点与极点相消时，闭环特征方程式的根就是闭环传递函数的极点。当系统中某一参数由零变到正无穷大时，闭环系统特征方程的根在s平面上形成的轨迹称系统的根轨迹。绘制系统根轨迹时,选择的可变参量可以是系统的任意参量。根轨迹定义本章内容第一节根轨迹的基本概念第二节1800根轨迹绘制方法第三节00根轨迹绘制方法第四节参量根轨迹绘制方法第一节根轨迹的基本概念（1）稳定性；（2）稳

2、态性能;判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性；也可根据系统稳态误差要求来得到K的范围，从而得出闭环极点位置容许范围。（3）动态性能;判断该系统在K取值在何范围时处于过阻尼、临界阻尼和欠阻尼状态（特别对二阶系统）；根轨迹与系统性能第二节绘制根轨迹的基本方法一、绘制根轨迹的基本条件负反馈系统特征方程为1＋G(s)H(S)=0即G(S)H(S)=-1------根轨迹方程根据复数等式两边的幅值和相角应分别相等的原则，可得幅值条件相角条件则负反馈系统根轨迹的幅值条件和相角条件分别为如系统开环传函可写成如下形式：满足相角条件的点，一定可以找到对应参数的值使

3、幅值条件成立！故相角条件是某点在系统根轨迹上的充要条件。例4-1单位负反馈系统的开环传递函数为:试检验S1=-1.5+j2.5是否为该系统根轨迹上的点；如果是，则确定与它相对应的K值是多少。满足相角条件,S1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。解:（1）确定开环零、极点。P1=0,P2=-2,P3=-6.6,Z1=-4（2）将s1坐标带入相角条件：（3）利用幅值条件求得与S1相对应的K值则系统根轨迹的幅值条件和相角条件分别为系统特征方程1＋G(s)H(S)=0可知G(s)H(S)=-1如系统开环传函可写成如下形式:满足上述方程的根轨迹称为18

4、00根轨迹二、绘制1800根轨迹的基本规则画根轨迹之前，需根据闭环特征方程将开环传递函数变换成如下标准形式：其中，K是绘制根轨迹的可变参数，称开环根轨迹增益1)参变量K必须是G(S)H(S)分子连乘因子中的一个2)G(S)H(S)的分子和分母通过其极点与零点来表示3)构成G(S)H(S)分子分母的每个因子中s项的系数必须是+1开环传递函数的标准形式必须具有下列特征：开环增益？根轨迹的连续性和对称性根轨迹分支数、起点和终点实轴上的根轨迹根轨迹的渐近线根轨迹的分离点和汇合点根轨迹的起始角和终止角根轨迹与虚轴的交点闭环特征方程根之和与根之积1）“×”、“

5、〇”2）箭头3）关键点的标注！绘制注意点绘制根轨迹的基本法则规则1：根轨迹的分支数和连续性与对称性根轨迹的分支数等于特征方程的阶数n(闭环极点的数目)；根轨迹是连续的且对称于实轴。用代数定理可证明，上式参数k连续变化，特征方程的根便连续变化，这便说明了根轨迹线是连续的。证明：(1)（2）由于反馈系统特征方程的系数仅与系统参数有关，而实际物理系统参数又都是实数，从而特征方程的系数也必然都是实数。具有实系数的代数方程的根如为复数，则必为共轭复数，所以实际物理系统的根轨迹必然是对称于实轴的曲线。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点(1)当K=0时,特征根

6、等于开环极点Pi，即根轨迹起始于开环极点(2)当K时，特征根等于开环零点Zi，即根轨迹终止于开环零点，即有m条分支趋向开环零点；(3)另外n-m条分支趋向无穷远处,需要确定其方位和走向。起始点：起始点为K=0时的系统特征根终止点：终止点为K时的系统特征根规则2：例2设某负反馈系统的开环传递函数为解上式为标准形式，开环极点:P1=0,P2=-1及P3=-2试绘制该系统的根轨迹图。从基本规则一知，系统有三条随变量k由0变向∞对称于实轴的连续根轨迹曲线。又从基本规则二知，三条根轨迹分别起始于s平面上的点(0，j0),(一1，j0),及(-2j0)

7、，并随参变量k—>∞，三条根轨迹都将趋向于s平面上的无穷远处规则3:实轴上的根轨迹实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域是根轨迹。证明：设系统含有一个零点，三个极点，则s1左边每个开环极点或零点提供的相角为0，s1右边每个开环极点或零点提供的相角为180º，每对共轭极点和零点提供的相角之和为0º，互相抵消。故，只有其右边开环实零点、极点的总数为奇数的实轴线段才满足相角条件。000000确定下列根轨迹图中实轴上的根轨迹例试确定负反馈系统的根轨迹在实轴上的组成部分已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。当n>m时，(n

8、-m)条根轨迹沿什么方向趋于[s]平面无穷远处。渐近线可认为是时的根轨迹。根轨迹的渐近线渐近线角度：规则4:根轨迹的渐近线