八年级的数学（湘教）下册1.2 直角三角形的性质和判定（ii）.ppt

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1、直角三角形本章内容第1章直角三角形的性质和判定（Ⅱ）本课内容本节内容1.2做一做如图1-9，在方格纸上（设小方格边长为单位1）画一个顶点都在格点上的直角三角形，使其两直角边分别为3，4，量出这个直角三角形斜边的长度.ABCa=3b=4c=?量得c=5.图1-9在方格纸上，以类似图1-9中的Rt△ABC的三边为边长分别向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图1-10-1，并填表.说一说为了求S3，可以先算出红色区域内大正方形的面积，再减去4个小三角形的面积.S2S3S1图1-10-1S1S2S3图1-10-1145S1S2S3图1-10-1145图1-1

2、0-2图1-10-2S2S1S391625S1S2S3S2S2S3图1-10-3观察表格,三个正方形的面积S1、S2、S3之间有怎样的数量关系呢？S1S2S3图1-10-1145图1-10-291625图1-10-3S1S1+S2=S3.92534在图1-10中，S1+S2=S3，即BC2+AC2=AB2，那么是否对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？图1-10S2S1S3ACB探究如图1-11，任作一个Rt△ABC，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，那么a2+b2=c2是否成立呢？ABC图1-11acb步骤１先剪出4个如图1

3、-11所示的直角三角形，由于每个直角三角形的两直角边长为a，b（其中b>a），于是它们全等（SAS），从而它们的斜边长相等.设斜边长为c.步骤2再剪出1个边长为c的正方形，如图1-12所示.图1-12步骤3把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成如图1-13的图形.cab思考：如何说明拼出的图形是正方形？图1-13结论直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.a2+b2=c2勾股定理的证法历史上有很多,比较著名的有毕达哥拉斯证法,有趣的总统证法(美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把

4、这一证法称为“总统”证法),希望有兴趣的同学课下查找资料.其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦（如图1-14），因此这一性质被称为勾股定理.图1-14小知识勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长，我们可以根据勾股定理求出第三边的长.例1如图1-15，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC于点D.你能算出BC边上的高AD的长吗？ABC图1-15D分析要求AD的长，要把AD放在直角三角形中，通过

5、勾股定理计算出.举例解：在△ABC中，∵AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC，∴在Rt△ADB中，由勾股定理得，AD2+BD2=AB2,∴故AD的长为12cm.ABC图1-15D在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）已知a=25，b=15，求c；练习（2）已知a=5，c=9，求b；（3）已知b=5，c=15，求a.如图1-16，电工师傅把4m长的梯子AC靠在墙上，使梯脚C离墙脚B的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到C′处.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？动脑筋图1-16由图1-1

6、6抽象出示意图1-17.在Rt△ABC中，计算出AB；再在Rt△A’BC’中，计算出A’B，则可得出梯子往上移动的距离为（A’B-AB）m.图1-17A’BCC’梯子墙面地面分析A在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m，由勾股定理得，在Rt△A’BC’中，A’C’=4m，BC’=1m，故因此A’A=3.87-3.71=0.16（m）.即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动0.5m.图1-17A’BCC’梯子墙面地面A例1（“引葭赴岸”问题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”意思是：有一个边长

7、为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与芦苇长为多少？举例分析根据题意，先画出水池截面示意图，如图1-18.设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分，即1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B′.宋刻《九章算术》书影ABB’15C图1-18ABB’15C图1-18解：在如图1-18，设水池深为x尺，则AC=x尺，AB=AB’=(x+1)尺.因为正方形池塘边长为10尺，所以B’C=5尺.在Rt△ACB’中，由勾股定理，得x2+52=(x+1)2解得x=12则芦苇长

8、为13尺.答：水池的深度为12尺，芦苇长13尺.练习