线性代数 教学课件 ppt 作者 第三版 钱椿林电子教案 第3章.ppt

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1、第3章线性方程组3.1本章的教学要求1．掌握n维向量的概念，理解向量组线性相关与线性无关的概念。2．理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组，了解重要的线性相关的判定理及有关结论。3．掌握线性方程组的相容性定理，掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。4．理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念，5．理解非齐次线性方程组的通解、特解及其线性方程组解的结构的概念。6．掌握用初等行变换求线性方程组的通解的方法。重点：线性方程组相容性定理，用初等行变换求线性方程组的通解的方法。难点：线性相关性的概念，齐次线性方程组的基础解系的概念。3

2、.2本章的主要内容3.2.1线性方程组形如(3.2.1)式中系数（i=1，2，，m，j=1，2，，n），常数项（i=1，2，，m）都是已知数，xj（j=1，2，，n）是未知数（也称元）。当（i=1，2，，m）不全为零时，称方程组（3.2.1）为非齐次线性方程组。当（i=1，2，，m）全为零时，即(3.2.2)称为齐次线性方程组。线性方程组（3.2.1）的矩阵表达式为AX=B(3.2.3)式中其中，A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵3.2.2增广矩阵将线性方程组的系数矩阵A和常数矩阵B两块组成的一个新矩阵，此新矩阵称为线性方程组(3.2.1)的增广矩阵，记

3、作(AB)，即今后，我们将会看到增广矩阵(AB)在解决线性方程组的问题时，将起到一个重要的关键的作用，因为增广矩阵(AB)包含了线性方程组的所有信息。3.2.3基本未知数（元）、自由未知数（元）将线性方程组(3.2.1)的增广矩阵(AB)，通过初等行变换化为阶梯形矩阵，求阶梯形矩阵所对应的线性方程组的解时，把阶梯形矩阵首非零元所在列的未知数称为基本未知数（元），设有r个，其余未知数称自由未知数（元），共有n－r个(n是未知数的个数)。同解定理：定理1若将增广矩阵(AB)用初等行变换化为(UV)，则AX=B与UX=V是同解方程组。3.2.4相容若线性方程组(3.2

4、.1)有解，称此线性方程组为相容的，否则称此线性方程组为不相容的。相容性定理：定理21.对于线性方程组AX=B(B≠O)有解（相容）r(A)=r((AB));2.对于线性方程组AX=B(B≠O)无解（不相容）r(A)≠r((AB))。定理3对于线性方程组AX=B，若r(A)=r((AB))=r，则1.当r=n时，AX=B有唯一解(n是未知数的个数)；2.当r

5、所以方程组(1)有无穷多组解；(2)r(A)=2≠r((AB))=3，所以方程组(2)无解；(3)r(A)=r((AB))=3=，所以方程组(3)有唯一解.例3.2.2问为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？解利用初等行变换将方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵，有(AB)=可知r（A）=r((AB))=因此，当而时，方程组无解；当时，方程组有唯一解；当且时，方程组有无穷多解.3.2.5n维向量把有顺序的n个数组成的一个序数组称为一个n维向量，记作其中称为n维向量的第i个分量（或坐标）。对n维向量而言，我们规定：n维向量相等、相加、数乘与列矩阵之间相等、相加、数

6、乘都对应相同。3.2.6线性组合、线性表出和组合系数对于向量如果有一组数，使得(3.2.4)便说是的线性组合，或说由线性表出，且称这组数为该线性组合的组合系数。例3.2.3判断向量能否由向量组线性表出，若能，求出一组组合系数.其中解考虑以为系数列向量，以为常数项的线性方程组解此线性方程组，运用初等行变换，得阶梯形矩阵所对应的方程组为显然方程组有解，所以可以由线性表出.由于方程组的一组解为所以3.2.7线性相关与线性无关对于向量组，若存在s个不全为零的数k1，k2，，ks，使得(3.2.5)则称向量组线性相关；否则就称向量组线性无关。注意：此定义中“存在一组”的意

7、思只要能找到一组就可以，而不是对任意一组数都要求上述等式成立。另外特别强调这组数不全为零，它与线性表出(3.2.4)的右边的那组数可以无此限制的情形是不同的。即可以全为零，也可以不全为零。(3.2.4)只是用组合系数来线性表出而已。不线性相关就是线性无关，即只有系数全为零，才能使得成立。这里的“只有……，才能……”意义是说，如果有一组全为零的数使，并不能说证明线性无关(因为很显然，一组全为零的数总能使任何向量组满足，在这种情况下无法得出线性无关的结论)，所以要证明向量组线性无关，必须强调除了一组全为零的数外，其它的任何一组不全为零的数，都有以上是对线性无关定义的

8、本质理解，但在实际应用中