九年级数学上册专题突破讲练几何基本图形：一线三等角试题（青岛版）.doc

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1、几何基本图形：一线三等角1.基本模型注意：利用同角的余角相等证明△ACD∽△BEC2.模型扩展（1）锐角相似依据：运用三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和寻找相等的角度，得出两个三角形相似并加以运用。（2）钝角注意：（1）相似三角形中对应边要找准。（2）熟练记忆“一线三等角”的基本模型，根据三角形相似可得：；（3）此模型中共有三组相似三角形，一般考查△BED∽△CDF。例题（历城区三模）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC

2、交于M点。（1）若BE=2，求CM的长；（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积。解析：（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠BAE，则可证得△ABE∽△ECM，就有，即可以得出答案；（2）分别从AE=AM，AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；（3）首先设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得，继而求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段A

3、M的最小值，继而求得重叠部分的面积。答案：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B，又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE，∴△ABE∽△ECM；∴，∴，∴；（2）能。当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA，∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴=，∴；当AE=AM时，此时E点与B点重合，M点与C点重合，即BE=0。∴BE=1或或0。（3）设BE=x，又∵△ABE∽△ECM，∴

4、，即：，∴，∴，∴当x=3时，AM最短为，又∵当时，∴点E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴，此时，EF⊥AC，∴，。点拨：本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题。关键是利用“一线三等角”判断出两三角形相似。此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键。【方法归纳】1.平面直角坐标系中，常作点到坐标轴的垂线，构造“一线三直角”。把点的坐标和线段的长度建立联系，解决问题。2.矩形中的翻折问题发现“一线三等角”，常用方程的思想解决。3.动态几何中图形的存在性问题应注意分类讨论思想的应用，不重不漏。例题在平面直角坐标系中，一张矩形纸

5、片按图所示放置。已知，，将这张纸片折叠，使点落在边上，记作点，折痕与边（含端点）交于点，与边（含端点）或其延长线交于点。请回答：（1）如图，若点的坐标为，直接写出点的坐标；（2）将矩形沿直线折叠，求点的坐标；解析：（1）利用折叠的性质，可得AE=OE=4，根据勾股定理就可以求出线段DA的长；（2）如图，根据，则E点的坐标为（0，n），F点的坐标为（2n，0），OE=n，OF=2n，由△AEF≌△OEF可知OE=AE=n，AF=OF=2n，得出△DEA∽△GAF所以，由FG=CB=6解得DA=3，从而求得A点的坐标。答案：（1）点A的坐标为（2）如图，过点F作FG⊥DC于G∵EF的解析式为，∴

6、E点的坐标为（0，n），∴OE=n∴F点的坐标为（2n，0），∴OF=2n∵△AEF与△OEF全等，∴OE=AE=n，AF=OF=2n∵点A在DC上，且∠EAF=90°∴∠1+∠3=90°又∵∠3+∠2=90°∴∠1=∠2在△DEA与△GAF中，∴△DEA∽△GAF∴∵FG=CB=6∴∴DA=3∴A点的坐标为（3，6）。点拨：这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，在矩形折叠问题中要善于发现“一线三等角”的模型，并利用该知识点解决问题。（答题时间：30分钟）一、选择题1.（济南）已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分

7、别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则tanα的值等于（　　）A.B.C.D.*2.（温州）如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片ABCO的顶点C的坐标为（0，8），沿着直线折叠纸片，使点C落在OA边上的点F处，折痕为DE，则b等于　　。A.2B.3C.4D.5*3.（苏州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，